Oi Claudio ! Nao ha do que agradecer, mas a sua iniciativa nos motiva a prosseguir : as vezes passa pela minha cabeca que ninguem se interessa por estas solucoes e que estou apenas "enchendo o saco" dos membros da lista. Quando algumas pessoas, como voce fez, se manifesta, nos vemos que o nosso trabalho esta sendo util e a duvida se dissipa.
A Matematica e Universal e patrimonio de toda a Humanidade. Assim, EU PENSO que, sempre que possivel, devemos divulgar livremente aquilo que sabemos, sobretudo quando trata-se de solucoes de um tema CUJOS FUNDAMENTO ja e amplamente dominado. Estas solucoes ajudam os estudantes a descobrirem MODELOS DE ATAQUE a outros problemas similares. Para que esta mensagem nao seja inteiramente pessoal, aqui vai a solucao do problema 4.12 ( EXERCICIO 4.12 ) Doravante, sempre que precisar usar somatorios, vou adotar a notacao : Si[1,N : F(i)] = F(1) + F(2) + ... + F(N) Seja r um numero real, 0 < r < 1. Fazendo b=r*a, temos que 0 < b < a. Ao real F = a - b > 0 correspondera um N0 tal que n > N0 implica | Xn – a | < F, pois LIM Xn= a. Daqui seguira que para n > N0, a – F < Xn, vale dizer, n> N0 => b < Xn. Agora, usando as propriedades dos numeros reais, e facil ver que para quaisquer naturais POSITIVOS "i" e K ( n > N0 ) : 0 < b^(i/K) < (Xn)^(i/K) => 0 < (b^(i/K))*(a^(K-i-1) ) < ( (Xn)^(i/K) )*(a^(K-i-1) ) Logo : 0 < Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] < Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] => 0 < | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | < | Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | Fazendo c = | Si[0,K- 1:(b^(i/K))*(a^(K-i-1) )] | e multiplicando tudo por |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|, segue : ( DESIGUALDADE 1 ) |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)|*c < | (Xn)^(1/K)–a^(1/K) |*| Si[0,K-1:((Xn)^(i/K))*(a^(K-i-1) )] |=|Xn-a| Dado um E > 0 ( DESIGUALDADE 2 ) : Como LIM Xn=a, existe um N1 tal que n > N1 => | Xn-a| < c*E Vemos portanto que se tomarmos um N2=max{N0,N1}, para todo n > N2 as duas desigualdades ficarao satisfeitas. Usando a transitividade das desigualdades chegamos a : n > N2 => |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| < E Assim, para um E > 0 qualquer sempre podemos exibir um natural N2 tal que n > N2 implica que |(Xn)^(1/K)–a^(1/K)| < E. Isto estabelece que LIM (Xn)^(1/K) = a^(1/K) , como queriamos demonstrar. *** Seja LIM Xn=a e r=P/Q. Já sabemos que LIM (Xn)^(1/Q) = a^(1/Q). Mas : LIM (Xn)^(P/Q) = LIM [ (Xn)^(1/Q)*...*(Xn)^(1/Q) ] onde dentro dos colchetes há P fatores. Logo : LIM (Xn)^(P/Q) = LIM (Xn)^(1/Q)*LIM (Xn)^(1/Q)*...*LIM (Xn)^(1/Q) LIM (Xn)^(P/Q) = a^(1/Q)*a^(1/Q)* ... *a^(1/Q) = a^(P/Q) O caso P/Q < 0 vai seguir a mesma linha, bastando eliminar o sinal de "-" OBS : Quem se interessar pelos exercicios dos capitulos 1 e 2 eu enviei uma copia do arquivo com todas as solucoes para o "Tio Cabri". Ele zipou o arquivo e colocou num ciber-lugar. E so falar com ele. Eu tenho as solucoes de todas as questoes, conforme for encontrando, vou disponibilizando pra voces. Enquanto isso vou publicando as solucoes aqui. Sejam magnanimos e mostrem e expliquem as solucoes para os seus colegas. Um Abracao a Todos Paulo Santa Rita 6,0630,040408 2008/4/3 Claudio Gustavo <[EMAIL PROTECTED]>: > Oi Paulo. > Estou respondendo essa mensagem apenas pra agradecer sua iniciativa. Pois > essas soluções tenho certeza que ajudarão a muitos outros além de mim. > > Abraços, > Claudio Gustavo. > > Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Ola Pessoal, > > Tenho publicado algumas solucoes de exercicios de Analise retirados do > excelente Livro : > > Curso de Analise - Volume 1 - Projeto Euclides - IMPA > 11 edicao - 2 impressao > Autor : Elon Lages Lima > > Eu nao publiquei nenhuma solucao dos capitulos 1, 2 e 3 porque sao > assuntos que, em geral, o estudante ja viu em cursos anteriores, > principalmente na Graduacao. Alem disso, eles sao bastante simples. > Entretanto, algumas pessoas me escreveram "em off" e pediram que eu > publicasse 2 ou 3 solucoes desses capitulos. Assim, selecionei 3 > exercicios do capitulo 1 e estou publicando agora. Escolhi os que > achei mais interessantes ou/e desafiadore. Seguem as solucoes : > > > > > NOTACAO : A letra "lambda" sera representada nestes exercicios por > "m". Os simbolos de uniao e intersecao serao representados > respectivamente pelos prefixos UNI e INTER. Os simbolos ">" e "<" > representarao, respectivamente, "contem" e "esta contido". O Simbolo > de "pertence a" sera representado pela letra "E" e "f_a" representa a > letra "f" com indice "a". A barra "/" representara a expressao "tal > que" > > > > ( EXERCICIO 1.14) > > NOTACAO : Seja f : A -> B uma funcao. Se Y < B, f(-1)(Y) sera o > conjunto de todos os elementos x E A tais que f(x) E Y. No caso de Y > ser unitario, tal como em Y={b}, f(-1)(Y) sera representado por > f(-1)(b) > > ITEM A : > > Seja X < A, a E X. Existe b E f(X) / b = f(a) => a E f(-1)(b) => a > E f(-1)( f(a) ). Como f(a) = b E f(X) => f(-1)( f(X) ) > f(-1)(f(a)) > => a E f(-1)( f(X) ). Assim, a E X => a E f(-1)( f(X) ). Isto > estabelece que X < f(-1)(f(X)), qualquer que seja o X < A, tal como > queriamos demonstrar. > > ADVERTENCIA : No meu livro o enunciado esta errado, pois la pede-se > para demonstrar que f(-1)(f(X)) < X para todo X < A. Isto e > evidentemente impossivel. Basta considerar a funcao f:{1,2,3} ->{4,5,6 > } tal que f(1)=f(2)=f(3)=4. Tomado X={1,2} temos que > f(-1)(f(X))={1,2,3}, isto e, f(-1)(f(X)) NAO ESTA CONTIDO em X > > ITEM B : > > No item anterior, mostramos que se f:A -> B e uma funcao qualquer > entao para todo X < A, f(-1)( f(X) ) > X. Agora, supondo que f:A->B e > injetiva, mostraremos que vale tambem f(-1)( f(X) ) < X. Faremos isso > por reducao ao absurdo. > > Com efeito, suponhamos que f(-1)( f(X) ) NAO ESTA CONTIDO X. Nests > caso, existe um "a" E f(-1)( f(X) ) tal que "a" NAO PERTENCE a X, > vale dizer, existe "b" E f(X) tal que b=f(a) mas "a" NAO PERTENCE a X. > Como "b" E f(X), existe "c" E X tal que b=f(c). Assim, existem "a" e > "c", a # c, tal que f(a) = f(c) = b => f nao e injetiva ... ABSURDO > ! > > Portanto, f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) < X, para todo X < ªA. > Como f(-1)( f(X) ) > X vale para qualquer funcao, seja injetiva ou > não, segue que : > > f:A-> B injetiva => f(-1)( f(X) ) = X > IMPLICACAO 1 > > Agora, suponhamos que f: A -> B e uma funcao e sabemos que f(-1)( f(X) > )=X para todo conjunto X < A. Queremos mostrar que f:A -> B e > injetiva. > > Suponha que f:A->B não e injetiva. Neste caso, existem a, b E A tais > que a # b e c=f(a)=f(b). Tomando o conjunto X={a} vemos que f(X)={c} e > que f(-1)(f(X))={a,b}, isto e, f(-1)(f(X)) # X ... ABSURDO ! Logo : > > f(-1)( f(X) ) = X, para todo X < A => f:A->B injetiva IMPLICACAO 2 > > As IMPLICACOES 1 e 2 estabelecem que f:A->B e injetiva se, e somente > se, f(-1)(f(X))=X, para todo X < A, tal como queriamos demonstrar. > ( EXERCICIO 1.18 ) > > ITEM A : > > Claramente que "Xm < UNI Xm", qualquer que seja "m". Aplicando a > propriedade da funcao f, teremos : f(Xm) > f(UNI Xm), qualquer que > seja o "m". Assim como todo f(Xm) contem f(UNI Xm) entao : > > INTER f(Xm) > f(UNI Xm ). INCLUSAO 1 > > Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) > INTER f(Xm), qualquer que > seja o "m". Aplicando as propriedades enunciadas da funcao, teremos, > sucessivamente : > > f( f(Xm) ) < f( INTER f(Xm)) => Xm < f( INTER f(Xm)) qualquer que > seja o "m" => > UNI Xm < f( INTER f(Xm)) => UNI Xm < f(INTER f(Xm)) => > f(UNI Xm) > f( f (INTER f(Xm))) => f(UNI Xm) > INTER f(Xm) <=> > > INTER f(Xm) < f(UNI Xm) INCLUSAO 2 > > As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que f(UNI Xm) = INTER f(Xm), como > queriamos demonstrar. > > > *** > > > ITEM B : > > Claramente Xm > INTER Xm, qualquer que seja o "m". Segue, da > propriedade da funcao, que f(Xm) < f(INTER Xm), qualquer que seja o > "m". Portanto : > > UNI f(Xm) < f( INTER Xm) INCLUSAO 1 > > Por outro lado, e obvio ululante que f(Xm) < UNI f(Xm), qualquer que > seja o "m". Daqui, aplicando sucessivamente as propriedades da funcao, > vem : > > f(f(Xm)) > f(UNI f(Xm)) => Xm > f(UNI f(Xm)) qualquer que seja o "m" => > INTER Xm > f(UNI f(Xm)) => f( INTER Xm) < f ( f(UNI f(Xm))) => > f( INTER Xm ) < UNI f(Xm) <=> > > UNI f(Xm) > f( INTER Xm) INCLUSAO 2 > > As INCLUSOES 1 e 2 estabelecem que UNI f(Xm) = f(INTER Xm), como > queriamos demonstrar. > > > > > > > > > ( EXERCICIO 1.21 ) > > > Dada uma funcao f E F(A;F(B;C)) qualquer. Entao f e uma funcao f:A > -> F(B;C), isto e, qualquer que seja o elemento "a" E A, existe uma > funcao f_a E F(B;C) tal que f(a) = f_a. Como f_a E F(B;C) entao f_a > e uma funcao f_a : B -> C, isto e, qualquer que seja o elemento "b" E > B a imagem f_a(b) e tal que f_a(b) E C e f_a(b) esta bem definida. > > Assim, dado f E F(A;F(B;C)), f_a(b)=f(a)(b) esta bem definida para > todo par (a,b) E AxB, ou seja, há uma funcao f* E F(AxB;C) induzida > por f e definida para todo par (a,b) do produto cartesiano AxB por : > > f*(a,b) = f_a(b) = f(a)(b) > > Vamos representar esta associacao por f* = G(f). Eu afirmo que G : > > 1) e INJETIVA > > Dados f1, f2 E F(A;F(B;C)) tais que f1 # f2 e sejam f*1=G(f1) e > f*2=G(f2). Neste caso, existe "a" E A tal que as funcoes f1(a)=f1_a e > f2(a)=f2_a são diferentes, vale dizer, existe "b" E B tal que : > > f1(a)(b) = f1_a(b) # f2_a(b) = f2(a)(b) => f*1(a,b) # f*2(a,b) => > G(f1) # G(f2) > Assim : f1 # f2 => G(f1) # G(f2) > > > 2) e SOBREJETIVA > > Dado f* E F(AxB;C). Para cada "a" E A definimos f_a : B -> C pondo > f_a(b) =f*(a,b). Isto estabelece uma funcao f E F(A;F(B;C)) tal que > f(a)=f_a e f(a)(b)=f_a(b)=f*(a,b), vale dizer, f* e a imagem de f pela > aplicacao G já definida. > > Os fatos 1) e 2) mostram que a aplicacao f*=G(f) que definimos e uma > bijecao. > > > > Um Abraco a Todos > Paulo Santa Rita > 5,0E06,030408 > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > > ________________________________ > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > armazenamento! ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================