Olha, isso encaixa direitinho num assunto da disciplina de controle, no curso de engenharia eletrica. O assunto se chama root locus, ou lugar das raizes. (procura no google) Inclusive, o matlab traça esse lugar para vc, no plano complexo, para todo valor de k possivel. O comando é rlocus. Abracos ----- Original Message ----- From: Ojesed Mirror To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, May 17, 2008 6:16 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa
Ribamar, o método de Cardano/Tartaglia, resulta nas raizes de um polinômio de grau 3, sendo elas reais ou complexas. ----- Original Message ----- From: J. R. Smolka To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 15, 2008 10:06 AM Subject: Re: [obm-l] Polinômios de variável complexa Obrigado ao Ojesed pela idéia de fazer uma substituição de variável do tipo z=(x+1) para simplificar a análise. Deve ser útil. Mas não dá para aplicar Cardano diretamente, porque (repito) este é um polinômio de variável complexa. Cardano serve para resolver equações cúbicas de variável real (possivelmente válido até se os coeficientes forem complexos), que não é o caso aqui. Não é a primeira vez que esta confusão acontece. Será porque a variável usada é x (que induz a pensar em números reais) em vez de z (como é comum para números complexos)? Pensar em x como um "vetor" de coordenadas cartesianas (a,b) ou polares (|x|,arg(x)) ajuda o raciocínio. Para os que (ainda) se interessarem no problema, lembro que uma função de C em C tem como domínio todo o plano de Argand, e a imagem será pelo menos um subconjunto (não necessariamente contínuo) de todo o plano de Argand. Neste caso, como a função é um polinômio de grau 3, cada ponto x do plano domínio é mapeado para um ponto do plano imagem através das translações e rotações provocadas pela potenciação de x e pela multiplicação de x por números reais. A questão inicial, então, é descobrir que região do plano de Argand pode possuir raízes de P(x)=0. Depois determinar a localização destes pontos nesta região (em função de k, que é um número real). E, finalmente, analisar a figura geométrica descrita pelo deslocamento destes pontos no plano de argand quando k varia entre 0 e +inf. Exemplo do raciocínio da primeira parte: não existe x tal que P(x)=0 na região do plano de Argand definida por 0<=arg(x)<pi/4 porque neste caso im(x)>0, im(x^2)>0 e im(x^3)>0, o que torna impossível que im(P(z))=0. Como disse antes, consigo enxergar as regiões do plano de Argand definidas por arg(z)=pi/2 (o semi-eixo imaginário positivo, excluída a origem) e por arg(z)=pi (o semi-eixo real negativo, também excluída a origem) como candidatas a hospedeiras das raízes de P(x)=0. Mas será que a minha visão geométrica está correta e completa? Ainda não desenvolvi a álgebra destes casos para verificar se um, outro ou ambos são compatíveis com P(x) (afinal de contas, estou fazendo isto por puro diletantismo, e o tempo livre para raciocinar livremente anda meio curto ;-)). Mas continuo interessado em idéias a respeito. [ ]'s Esta questão foi da prova de álgebra do IME 1976/1977. Vou transliterar um pouco o enunciado. Seja P(x)=(x+1)(x+3)(x+5)+k(x+2)(x+4), com x complexo e k real positivo. Desenhar no plano complexo o lugar geométrico das raízes de P(x)=0 para todos os valores possíveis de k. Tentei o seguinte: se z=a+bi é raiz de P(x), então P(z)=0, o que implica que Re[P(z)]=0 e Im[P(z)]=0, então daria para obter expressões em função de a e b que descrevessem o lugar geométrico procurado. Só que as expressões parecem intratáveis. Alguma outra idéia? J. R. Smolka