a questão é tg(3pi/11) + 4sen(2pi/11)= raiz quadrada de 11,
Vamos lá: Tome p = pi/11, e tome c=cosp, s = senp, então c + is= e^pi e
também ( c+ is)^11 = -1, isto é c^11 +11c^10si - 55c^9s^2 - 165c^8s^3i +
370c^7s^4 + 462c^6s^5i - 462c^5s^6 -
330c^4s^7i+165c^3s^8+55c^2s^9i-11cs^10-s^11i=-1. Agora , 11c^10s- 165c^8s^3
+ 462c^6s^5 - 330c^4s^7+55c^2s^9-s^11=-1 e como s diferente de zero, temos:
11c^10- 165c^8s^2 + 462c^6s^4 - 330c^4s^6+55c^2s^8-s^10=-1 e c^2 = 1 -
s^2, dai fica:
11- 220s^2+1232s^4-2816s^6+ 2816s^8-1024s^10=0 e então
(11s-44s^3+32s^2)^2 -11c^2(1-4s^2)^2 = 121s^2 -968s^4
+2640s^6-2816s^8+1024s^10=0,isto prova que:
11s-44s^3+32s^5/c(1-4s^2) = +- raiz(11).
tg3p+4sin2p= 3tgp-tg^3p/1-3tg^2p + 8senpcosp = 3cs^2 -s^3/c^3-3s^2c + 8sc
que implica em:
tg3p + 4sin2p = 11s-44s^3+32s^5/c(1-4s^2) logo tg3p + 4sen2p = +-raiz de 11,
dai como tg3p > 0 e sen2p > 0, nós temos que : tg3pi/11 + 4sen2pi/11 = raiz
de 11
