Existe uma sala quadrada de lado L. Em um dos lados existe uma porta do tamanho da parede, ou seja, L. Portanto uma das paredes é só a porta. Chame esse quadrado (sala) de ABCD, e seja o segmento AB a porta. Essa porta, ela se abre de um jeito particular, o ponto A da mesma segue em linha reta pelo segmento AB, enquanto o ponto B dela segue reto pelo segmento BC. Portanto, quando ela abre, ela varre certa área de dentro da sala. Qual o valor dessa área?
Este problema é MUITO trabalhoso, então eu optei por usar o Maple para fazer a parte hard e fiquei só com a parte soft. Inicialmente, é necessário transformar o problema num problema de Geom. Analítica: Vou definir o quadrado em coord. cartesianas: O = (0, 0) ; A = (0, L) ; B = (L, L) ; C = (L, 0) A extremidade "E" da porta sai de "B" e vai até "A", percorrendo a reta y=L ; A extremidade "F" da porta sai de "C" e vai até "B", percorrendo a reta x=L . Evidentemente, EF=L A área que a porta varre é delimitada pelas retas y=L e x=L e pela seguinte curva: Seja uma reta perpendicular à reta EF , passando por "O". Esta reta intercepta a reta EF no ponto "P". O lugar geométrico de "P" é a curva que delimita a varredura da porta. O problema se resume em achar a equação desta curva... Bem, quem quiser, e tiver um bocado de "saco", que ache... Eu, particularmente, vou apelar: Theta = ângulo COP Para theta=PI/4 , OP é mín. OP(theta=PI/4) = sqrt(2)L – L/2 = 0.9142 L , caso fosse "L", a curva supracitada seria um círculo... Assumir que a tal curva seja círculo, já seria uma aproximação preliminar. Neste caso a área da varredura da porta seria: L^2 – (PI*L^2)/4 = 0.2146 L^2 Mas é possível melhorar bastante esta aproximação preliminar: basta assumir que OP varie de forma cossenoidal em função de "theta". Acredito que esta segunda aproximação cossenoidal sirva "fapp" (For All Practical Purposes)! Vou, agora, fazer uma rotação de PI/4 , para poder integrar "theta" de –PI/4 (OC) até +PI/4 (OA). Então: Theta = 0 à OP = L(sqrt(2) – 0.5) = 0.9142 L ; delta = L – L(sqrt(2) – 0.5) Theta = –PI/4 à OP = L ; Theta = +PI/4 à OP = L . OP(theta) = L – cos(2*theta)*delta Uma área infinitesimal, DENTRO da curva, i.e., voltada para "O", é definida por: dA = (OP^2)/2 d(theta) A = Integral[ (OP^2)/2 d(theta) , theta = –PI/4 ... +PI/4) ] A = ( 25PI/32 + sqrt(2) – 3/2 – 3PIsqrt(2)/8 ) L^2 = 0.7025 L^2 Finalmente, a área de varredura da porta é: L^2 – 0.7025 L^2 = 0.2975 L^2 (i.e., 30% da área do quadrado!). 2008/9/15 Samuel Wainer <[EMAIL PROTECTED]> > Olá, > Me proporam este problema a um certo tempo. Não consegui resolver. Alguem > pode me ajudar? > > Existe uma sala quadrada de lado L. Em um dos lados existe uma porta do > tamanho da parede, ou seja L. Portanto uma das paredes é só a porta. Chame > esse quadrado (sala) de ABCD, e seja o segmento AB a porta. Essa porta ele > abre de um jeito particular, o ponto A da mesma segue em linha reta pelo > segmento AB, enquanto o ponto B dela segue reto pelo segmento BC. Portanto > quando ela abre ela varre uma certa área de dentro da sala. Qual o valor > dessa área? > > Não sei se fui bem claro na explicação do problema, mas agradeço desde já. > > Samuel > > ------------------------------ > Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o > Messenger! É GRÁTIS! <http://www.msn.com.br/emoticonpack> > -- Saudações, AB [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
