Considere a circunferência inscrita no triângulo retângulo ABC em questão, seja
r seu raio.Vamos imaginar a seguinte construção geométrica:
Passo 1 - Ponta seca do compasso em A trace o arco que passa por C até cortar a
hipotenusa em E.
Passo 2 - Ponta seca em B trace o arco que passa por C e corta a hipotenusa em
D.
É fácil concluir que DE=2r ( basta acompanhar os "movimentos" dos pontos de
tangência do incírculo sobre os catetos nos traçados anteriores ).
Agora o que se pede para provar é que DG + EF = 2r.
Examine o triângulo retângulo ADG para concluir que
DG=(b - 2r )xsenA=(b - 2r )xa/c, do mesmo modo examinando o triangulo retângulo
BEF podemos concluir que EF=(a - 2r )xb/c. Somando membro a membro obtemos DG +
EF = ( ab - 2ar + ab - 2br )/c, agora ab é o dobro da área do triângulo ABC,
que é igual a (a+b+c)xr.
Uma simples substituição da expressão 2ab por essa última fornece o resultado
desejado.
Espero ter ajudado.
Tarso de Moura Leitão.
