Olá!
Bem, pode não ser trivial, mas, também, não é difícil veja: Qualquer termo da série harmônica, a[i], tem a seguinte propriedade: a[i] < a[i+1] + a[i+2] + + a[i+n] , sendo n um número natural FINITO. Provar esta propriedade é muito fácil, basta valer-se da Indução Finita. A continuação é ainda mais fácil: A partir do k-ésimo termo, a série harmônica pode ser escrita assim: a[k] + b[1] + a[k+n+1] + b[2] + ... Sendo: b[1] = a[k+1] + a[k+2] + ... + a[k+n] > a[k] para um certo n natural e FINITO. b[2] = a[k+n+2] + a[k+n+3] + ... + a[k+n+m] > a[k+n+1] para um certo m natural e FINITO. Nesta nova forma, a série é crescente, logo, é divergente! Sds., AB From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Iuri Sent: Thursday, December 18, 2008 6:08 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???) Bom, provar que a série harmonica diverge não é das tarefas mais fáceis, mas... Não seria o contrário? Antes de fazer tudo isso de conta que vc fez no primeiro email, você teria que provar que ela converge. 2008/12/18 Albert Bouskela <bousk...@msn.com> Amigos: Reconheço que é por aí, mas também não é tão fácil assim! É necessário mostrar que S = 1 +1/2 + 1/3 + ... diverge, o que, de modo algum, é óbvio! Sds., AB From: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] On Behalf Of Iuri Sent: Thursday, December 18, 2008 4:08 PM To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Mais um divertimento: 0 > 1/2 (???) A série harmonica diverge, o que torna quase todas as passagens desse seu email erradas. 2008/12/18 Albert Bouskela <bousk...@msn.com> Amigos: Já que o divertimento anterior foi um sucesso de público e crítica, aí vai o segundo: [1] Considere a seguinte série: S = 1 +1/2 + 1/3 + ... = soma ( 1/n , n = 1 ... +oo ) [2] Faça a seguinte manipulação: S/2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ... = soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) Chame esta equação de [eq A]. [3] É óbvio que: S = S/2 + 1 + 1/3 + 1/5 + ... = S/2 + soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) Logo: S/2 = soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) Chame esta equação de [eq B]. [4] Subtraia a [eq A] da [eq B]: [4.1] O lado esquerdo da equação obtida fica assim: S/2 - S/2 = 0 [4.2] Já o lado direito... soma ( 1/(2n-1) , n = 1 ... +oo ) - soma ( 1/2n , n = 1 ... +oo ) = soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) Mas... soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... > 1/2 [5] E, assim, "demonstra-se" que 0 > 1/2 (???) Onde está o erro? Uma curiosidade: soma ( 1/2n(2n-1) , n = 1 ... +oo ) = 1/2 + 1/12 + 1/30 + ... = ln(2) = 0,69 > 1/2 AB bousk...@msn.com _____ Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o Messenger! É GRÁTIS! <http://www.msn.com.br/emoticonpack>
