Resposta curta: o problema eh que o passo de inducao nao funciona de
k=1 para k=2.
Resposta comprida: para provar que uma sentenca s(n) vale para todo n
natural, por inducao, precisamos provar que:
i) s(1) eh V
ii) Para todo k natural, s(k) implica s(k+1)
No nosso caso, s(n) eh: "Todo conjunto com n bolas que tenha pelo
menos uma bola azul soh tem bolas azuis."
Como voce disse, s(1) eh V; corretissimo.
Agora, o resto do argumento mostra que s(k) implica s(k+1) para k=2 ou
mais; mas o argumento nao funciona para mostrar que s(1) implica s(2).
De fato, siga a sua demonstracao devagarzinho fingindo que n=1. Quando
voce chegar na frase "retire uma bola deste conjunto e reponha a bola
tirada inicialmente", voce nao pode aplicar s(1) a este conjunto para
concluir que esta bola tirada inicialmente eh azul -- afinal, a
hipotese "tem pelo menos uma bola azul" nao vale para este conjunto de
uma bola (que pode ser de qualquer cor).
Agora, para realmente entender inducao, note que, se s(2) valesse (por
algum motivo estranho), entao seu raciocinio estaria 100% correto e
teriamos que s(n) vale para todo n sim senhor! Traducao: suponha que
voce estah num mundo com n bolas, onde qualquer conjunto de duas
bolas, sendo uma azul, tem que ter duas bolas azuis. Neste mundo, se
ha uma bola azul, todas sao azuis.
E se voce quiser ver se estah MUITO craque: suponha que num mundo com
infinitas bolas, qualquer conjunto de duas bolas com uma azul tem que
ter duas bolas azuis. A inducao sozinha NAO PROVA que todas as bolas
deste mundo sao azuis. Em outras palavras, inducao prova s(n) para
todo n natural -- mas nao prova s(n) quando "n=infinito".
Abraco,
Ralph
2009/1/9 Murilo Krell <[email protected]>:
> Pessoal, alguém poderia dar uma ajudinha?
>
> já quebrei a cabeça, mas não consigo achar
>
> Explique, com palavras, o erro da seguinte indução:
>
> Afirmação: Dado um conjunto de n bolas, se uma delas é azul, então todas são
> azuis.
> Demonstração: para n=1, como pelo menos uma bola é azul e há apenas um
> elemento, então todas as bolas são azuis. Suponha a afirmação válida para um
> dado n. Tome um conjunto de n + 1 bolas, onde pelo menos uma é azul. Tire um
> elemento do conjunto que não seja esta bola azul fixada. Pela hipótese de
> indução, todas as bolas desse conjunto com n elementos são azuis. Retire uma
> bola desse conjunto e reponha a bola tirada inicialmente. Novamente pela
> hipótese de indução temos que todas as n + 1 bolas são azuis.
>
> []'s
>
> Murilo
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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