Ola Marcelo e demais colegas desta lista ... OBM-L, ( escreverei sem acentos )
Sejam : A -> caixas na cor azul B -> caixas na cor amarelo C -> caixas na cor verde D -> caixas na cor vermelho. Uma solucao de A+B+C+D=10 na qual so figurem numeros inteiros nao-negativos pode ser interpretada como uma maneira de pintar as caixas. Assim, a 4-upla (A,B,C,D)=(3,2,0,5) significa que tres caixas foram pintadas de azul, duas caixas foram pintadas de amarela, nenhuma caixa foi pintada verde e cinco caixas foram pintadas de vermelho. O total de solucoes inteiras nao-negativas de A+B+C+D=10 nos da, portanto, o numero de maneiras possiveis de pintarmos as 10 caixas com as quatro cores disponiveis - claro, supondo-se que duas caixas ainda nao pintadas sao indistinguíveis ! Isto posto, fica facil ver que considerando agora as solucoes de A+B+C+D=10 nas quais A > 0 ( "A" e positivo ), vale dizer, todas as solucoes de A+B+C+D=9, teremos todas as maneiras de pintar as caixas nas quais AO MENOS UMA CAIXA FOI PINTADAS DE AZUL. Existe um algoritmo direto, mesmo uma "formula", para o total de solucoes inteiras e nao negativas de uma equacao diofantina da forma X1 + ... + Xn = M, o que responde a sua questao. A formula e : Binom(N+M-1,M) No seu caso : N=4 e M=9. Logo : Binom(4+9-1,9)=220 Um Abraco a Todos ! Paulo Santa Rita 20604092020 2009/4/6 Marcelo Gomes <elementos....@gmail.com>: > Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem > diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma > mão, ok ? > > Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar cada > uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, verde > e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que pelo > menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? > > Minha resolução: > > Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. > Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, > e na segunda 4 e na terceira 4 e.....assim até a décima caixa. Então o > número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta > seria 4^10. > > Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não > aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na > segunda 3 cores, na terceira 3 cores....e na décima 3 cores. Então pela > minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. > > Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: > > 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras.... > > Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muitooooo! O gabarito deu 220 modos. > > Não entendi nada! > > Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz. > > Abração a todos. > > Marcelo. > > > ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
