Caro professor Márcio Pinheiro, Muito obrigado pela sua resolução e por suas explicações. Valeu mesmo...entendi que o meu problema foi considerar a ordem.
Grande abraço, Marcelo. 2009/4/7 Márcio Pinheiro <[email protected]> > Olá. > O problema em sua solução é que estás a considerar a *ordem* em que as > caixas são pintadas como fator diferenciador de duas pinturas. Sejam A, B, C > e D as cores azul, amarelo, verde e vermelho, respectivamente. Note como > falas em "primeira" caixa, "segunda" caixa, etc. Assim, as pinturas: > ABCDABCDAB e DCBADCBABA seriam distintas na tua contagem, quando, em > verdade, não o são, tendo em vista que as caixas são idênticas. Portanto, o > que interessa é que em ambos exemplos anteriores há 3 caixas pintadas de A, > 3 de B, 2 de C e 2 de D, significando que se trata do mesmo modo de > pintá-las. > É conveniente lembrar sempre que, o Princípio Multiplicativo, que usaste > pra obter os valores 4^10 e 3^10, traz em si a diferenciação pela ordem das > decisões. > Neste caso, a solução consiste em aplicar o conceito de combinações > completas (com repetições). Sejam x, y, z e w as *quantidades* de caixas > pintadas de azul, amarelo, verde e vermelho., nesta ordem. Deve-se impor que > x + y + z + w = 10 (total de caixas), com a condição adicional de x > 0 (e, > nitidamente, y, z e w *inteiros não negativos*, bem como x *inteiro > positivo*). Fazendo x = a + 1, garante-se que a pode ser qualquer inteiro > não negativo, incluindo o zero, o que é excelente, tendo em vista que a > equação pode ser re-escrita como (a + 1) + y + z + w = 10 <=> a + y + z + w > = 9, e as incógnitas, agora, têm que ser todas inteiros não negativos > (eventualmente, iguais a zero). > Portanto, a resposta pedida corresponde (biunivocamente) à quantidade de > soluções inteiras e não negativas de a + y + z + w = 9, que é dada pelo > número de combinações simples de 12 elementos, tomados 3 a 3 (ou o número de > permutações de 12 objetos, sendo 9 iguais entre si e outros 3 idênticos > entre si, mas distintos dos primeiros), ou seja: > 12!/(9!3!)=12.11.10/6 = 220. > Suponho que conheces esse último resultado. > Qualquer dúvida, uma explicação pode ser obtida em > http://www.ime.usp.br/~iesus/verao2008/gablista3.pdf<http://www.ime.usp.br/%7Eiesus/verao2008/gablista3.pdf> > Até mais. > > --- Em *seg, 6/4/09, Marcelo Gomes <[email protected]>* escreveu: > > De: Marcelo Gomes <[email protected]> > Assunto: [obm-l] Uma difícil de Combinatória > Para: [email protected] > Data: Segunda-feira, 6 de Abril de 2009, 18:37 > > > Pessoal esta questão caiu em uma avaliação que fiz e o gabarito foi bem > diferente do que ei fiz. Por favor se alguém tiver um tempinho me dê uma > mão, ok ? > > Questão: Sejam 10 caixas de madeira, exatamente iguais. Queremos pintar > cada uma delas com uma cor dentre quatro cores disponíveis: Azul, amarelo, > verde e vermelho. De quantos modos podemos pintar as caixas, sabendo que > pelo menos uma das caixas deve ser pintada de azul ? > > Minha resolução: > > Busquei encontrar o número ma´ximo de possibilidades para pintar as caixas. > Então pensei da seguinte maneira: Na primeira caixa poderiam entra 4 cores, > e na segunda 4 e na terceira 4 e.....assim até a décima caixa. Então o > número máximo de possibilidades de se pintar as 10 caixas pela minha conta > seria 4^10. > > Em seguida busquei encontrar o número de possibilidades onde a cor azul não > aparecesse. Então analisei que na rimeira caixa poderiam entrar 3 cores, na > segunda 3 cores, na terceira 3 cores....e na décima 3 cores. Então pela > minha conta eu teria 3^10 onde o azul não aparece. > > Então como preciso ter pelo menos uma caixa azul, fiz: > > 4^10 - 3^10 = achei 989.527 maneiras.... > > Bem pessoal pelo gabarito eu errei e muitooooo! O gabarito deu 220 modos. > > Não entendi nada! > > Peço que vocês me ajudem por favor, para compreender o enorme erro que fiz. > > Abração a todos. > > Marcelo. > > > > ------------------------------ > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top > 10<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/>- > Celebridades<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/>- > Música<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/>- > Esportes<http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/> >
