2009/4/22 Albert Bouskela <bousk...@ymail.com>: > Olá! Salve Albert e toda obm-l !
> Dentre os números não-algébricos, “pi” é o que possui a prova mais fácil da > sua “irracionalidade”, i.e., apenas uma página. Você pode encontrá-la em > > http://www.math.upenn.edu/~deturck/m509/niven.pdf Muito legal essa prova ! Mas bastante mágica, devo dizer... E em termos de comprimento, eu gosto mais da do "e" (o que acontece de novo no caso de provar que são transcendentes, ou seja, a do "e" é mais fácil também, na minha opinião) : Diga que e = p/q note que as aproximações de e pela definição clássica (como limite de x_n = 1 + 1 + 1/2 + 1/3! + ... + 1/n!) diferem de menos de 1/(n * n!) do valor exato de e (some 1/(n * n!) no final e chame y_n = x_n + 1/(n * n!), e veja que x_n é crescente e y_n é decrescente). Ora, o presumido denominador de e é um numero finito, certo ? Logo, compare os termos da soma até o índice q : 1 + 1 + 1/2 + ... + 1/q! < p/q < 1 + 1 + 1/2 + ... + 1/q! + 1/(q * q!) Multiplicando por q! dos dois lados, temos que Inteiro bem grande < p * (q-1)! < Inteiro bem grande + 1/q Ou seja, há um inteiro num espacinho pequeniniho. Absurdo. Uma coisa legal desta prova é que não precisa de nada além da definição do e (a do pi, precisa saber fazer contas com senos e cossenos, ou seja, provar os vários limites clássicos, e o cara pula um bocado na integração por partes - eu me lembro de ter visto uma prova parecida mas que na minha memória era bem mais longa do que a página do nosso amigo de Purdue !!) > Sds., > Albert Bouskela Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
