Saudações. O melhor caminho que vislumbro pra resolver esse tipo de questão não é exatamente por "produtos notáveis", mas por "números complexos". LEMA: Sendo x um número complexo, não real, x + 1/x é real se, e somente se, x tem módulo unitário. Adotar-se-á a notação cisk para significar cosk + isenk, sendo k um número real e i^2 = - 1. Seja x = pcisk, em que p = módulo de x (número real positivo, já que x não é nulo). Pela 1ª Lei de De Moivre, x^n = p^ncis(nk), qualquer que seja n inteiro. PROVA DO LEMA: x + 1/x = x + x^(-1) = pcis k + p^(-1)cis(-k)= (p + 1/p)cosk + i(p - 1/p)senk, que é um número real se, e somente se, p = 1/p, pois senk é diferente de zero. Daí, p = 1, como se desejava demonstrar. Assim, sendo x + x^(-1) = (1+sqrt5)/2 (o número de ouro, por sinal), é fácil ver que x não pode ser real, porque o discriminante (delta) é negativo. Logo, de acordo com o lema precedente, x = cisk, com k real. Daí, x + x^(-1) = 2cosk = (1+sqrt5)/2, ou seja, cosk = (1+sqrt5)/4 = cos (pi/5). Portanto, usando o argumento principal (isto é, de 0 a pi) para o valor de k, pode-se tomar x = cis (pi/5). Pela 1ª Lei de De Moivre, conclui-se que: x^2000 + x^(-2000) = 2cis(400pi) = 2(1 + 0i) = 2. Espero ter ajudado. Márcio Pinheiro.
--- Em qua, 29/4/09, Marcus <[email protected]> escreveu: De: Marcus <[email protected]> Assunto: [obm-l] produtos notaveis Para: [email protected] Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 Alguem sabe como se faz essa questão? Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
