Sauda,c~oes, Oi Márcio Pinheiro, Legal, gostei. Mas me parece que o Bernardo(?) deu uma sugestão para um começo de solução. Ou não? Se sim, como seria esta solução? []'s Luís
> Date: Thu, 30 Apr 2009 05:41:38 -0700 > From: [email protected] > Subject: Re: [obm-l] produtos notaveis > To: [email protected] > > Saudações. > O melhor caminho que vislumbro pra resolver esse tipo de questão não é > exatamente por "produtos notáveis", mas por "números complexos". > LEMA: Sendo x um número complexo, não real, x + 1/x é real se, e somente se, > x tem módulo unitário. > Adotar-se-á a notação cisk para significar cosk + isenk, sendo k um número > real e i^2 = - 1. > Seja x = pcisk, em que p = módulo de x (número real positivo, já que x não é > nulo). Pela 1ª Lei de De Moivre, x^n = p^ncis(nk), qualquer que seja n > inteiro. > PROVA DO LEMA: x + 1/x = x + x^(-1) = pcis k + p^(-1)cis(-k)= (p + 1/p)cosk + > i(p - 1/p)senk, que é um número real se, e somente se, p = 1/p, pois senk é > diferente de zero. Daí, p = 1, como se desejava demonstrar. > Assim, sendo x + x^(-1) = (1+sqrt5)/2 (o número de ouro, por sinal), é fácil > ver que x não pode ser real, porque o discriminante (delta) é negativo. Logo, > de acordo com o lema precedente, x = cisk, com k real. Daí, x + x^(-1) = > 2cosk = (1+sqrt5)/2, ou seja, cosk = (1+sqrt5)/4 = cos (pi/5). Portanto, > usando o argumento principal (isto é, de 0 a pi) para o valor de k, pode-se > tomar x = cis (pi/5). > Pela 1ª Lei de De Moivre, conclui-se que: x^2000 + x^(-2000) = 2cis(400pi) = > 2(1 + 0i) = 2. > Espero ter ajudado. > Márcio Pinheiro. > > --- Em qua, 29/4/09, Marcus <[email protected]> escreveu: > > De: Marcus <[email protected]> > Assunto: [obm-l] produtos notaveis > Para: [email protected] > Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 21:00 > > Alguem sabe como se faz essa questão? > > Se X + X^-1 = (1+sqrt5)/2 então x^2000 + x^-2000 vale? > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
