Então, vamos lá: Fazendo o desenho e que te disse e a construção auxiliar do triangulo equilátero ACE. Vamos usar um colorário. COLORÁRIO: BE=AD DEMONSTRAÇÃO: Sendo P a intersecção da circunferência circunscrita aos respectivos triangulos ACE e BCD. Logo D^PC=pi/3 e A^MC=2pi/3. Então P está em AD, e de forma análoga P está em BE. Finalmente aplicando Ptolomeu!!!<quadriláteros BPCD e APCE> temos as relações PE=AP +PC, PD=PB+PC. Logo AD=PM+PB+PC=BE cqd. Em ABE aplica-se lei dos cossenos BE^2= AB^2+AE^2 +AE*AB*3^1/2. No entanto, BE=AD, AE=AC. Então: AD^2=AB^2+AC^2+AB.AC*3^1/2 cqd. Bom cheguei no mesmo resultado que vc obteve praticament. É um bom problema, enfim"!!!
________________________________ De: Márcio Pinheiro <[email protected]> Para: [email protected] Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 12:33:47 Assunto: Re: Res: [obm-l] problema interessante!!! De nada. Fiquei curioso quanto à tua solução por Ptolomeu. Qual é o ponto P? Valeu, Cleuber. --- Em qui, 30/4/09, Cleuber Eduardo <[email protected]> escreveu: De: Cleuber Eduardo <[email protected]> Assunto: Res: [obm-l] problema interessante!!! Para: [email protected] Cc: [email protected] Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 10:18 Valeu Márcio!!. Quando eu peguei esse problema a princípio eu tratei o problema de uma forma parecida com a tua. Mas ontem eu percebi que se construíssemos um triangulo equilátero auxiliar ACE e depois ptlolomeu no quadriátero APCE e BPCD. E so no final usa-se a lei dos cossenos pra terminar. Obrigado!!!! ________________________________ De: Márcio Pinheiro <[email protected]> Para: [email protected] Enviadas: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009 8:39:51 Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas "de cabeça" :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo <[email protected]> escreveu: De: Cleuber Eduardo <[email protected]> Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: [email protected] Cc: [email protected] Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha.!!!!1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC constructBCD. Prove that the lengths of the segments AB,AC, and AD cannot all be rational. donha. Obrigado desde já. ________________________________ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes in the exterior the equilateral triangle ________________________________ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes ________________________________ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes ________________________________ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
