Ola Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Poxa, eu nao sabia que a solucao de um problema tao simples poderia servir de suporte a publicacao de um artigo em revista especializada ... Nao sei se felizmente ou infelizmente, mas, para mim, "artigo" e aquilo que traz uma novidade ou contribuicao para a ciencia, o resto e material de divulgacao ou/e pedagogia, coisas que eu nao conheco bem. .
Bom, quanto ao seu desafio, eis aqui a explicacao : Se o inraio de um triangulo e 2, sua area pode ser expressa por 2P, onde P e o semiperimetro. Ora, isso e precisamente o perimetro do triangulo. Logo, em tais triangulos, a area e igual ao perimetro. Agora, amenidades a parte, aqui vai um primeiro problema relativo a uma pesquisa com a qual me envolvi alguns anos atras. O objetio e mostrar que toda sequencia da reta definida por mais de uma sentenca ( Ex : Xn=N/2 se N e par; Xn=2N+1 se N e impar ) tem um "caminho" equivalente no plano. Muitas vezes fica mais facil estudar a sequencia equivalente "do plano" Vamos ao problema : Acompanhe o seguinte passeio no plano : (0,0) -> (1,0) -> (1,1) -> (0,1) ->(-1,-1) -> ((-1,0) -> (-1,-1) ->(0,-1) -> (1,-1) -> (2,-1) -> (2,0) ->(2,1)->(2,2)->(1,2)->(0,2)->(-1,2)->(-2,-2)-> ... Verifique que o caminho acima pode ser descrito assim : partindo de (0,0) e caminhando sempre em sentido anti-horario de forma que jamais passe por uma posicao ja ocupada anteriormente e mantendo-se, em cada passo, o mais proximo possivel de (0,0). . Descubrar uma relacao de recorrencia (X_n,Y_n) que fornece as coordenadas do "proximo passo" do caminho "em funcao do(s) passo(s) anterior(es). Um Abracao a Todos ! PSR,31905090E05 2009/5/19 Carlos Nehab <ne...@infolink.com.br>: > Oi, Paulo, Eduardo e colegas, > > Uma curiosidade: o problema de determinar os triângulos de lados inteiros e > cuja área e perímetro são representados pelo mesmo número, fixada a unidade, > também possui 5 soluções, exatamente as soluções do problema proposto pelo > Eduardo cuja solução você postou. > > Fica como desafio perceber porque os problemas são.... equivalentes... > > Este problema (o que eu mencionei) foi publicado na Revista do Professor de > Matemática, da Sociedade Brasileira de Matemática e alguns de seus textos > (da Revista) são utilizados pelo MEC em uma série de publicações para apoio > aos professores de Matemática e disponível em seu portal. > > O Índice da Revista do Professor de Matemática você pode ver em > http://www.rpm.org.br/cms/indice.pdf > > e a aconselho fortemente para os professores que atuam até o nível médio, > pois possui centenas de idéias criativas. > > O texto (do MEC) a que me refiro você pode ver em > http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat_icap3.pdf > > É uma iniciativa louvável do MEC, cujo site, inclusive, passou por uma > reforma recentemente e está 1000 vezes melhor. > > Dê também uma olhada em (Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas > Públicas) > http://www.obmep.org.br/ > > e veja se a gente não tem motivo para ficar orgulhoso de nosso país. > > Grande abraço, > Nehab > > > Paulo Santa Rita escreveu: > > Ola Wilner e demais colegas > desta lista ... OBM-L, > > Toc, toc .. toc, toc ... Acorda Eduardo ! Sai dessa cripta, homem ! > Vem ajudar a levantar o nivel > de discussao da nossa lista ! > > Achei legal o problema que voce apresentou. Como ninguem quis fazer, > eu bolei essa solucao ai embaixo, um tanto truculenta. Se nao errei > nenhum calculo, sao apenas 5 os triangulos. > > Sejam A, B e C os lados do triangulo, P o seu semiperimetro e R o > raio do circulo inscrito. Sabemos que a area A deste triangulo pode > ser expressa nos seguintes termos : > > A = RP = ( P(P-A)(P-B)(P-C) )^0.5 > > Neste particular problema, R=2. Usando isto e trabalhando um pouco na > expressao acima, chegaremos a : > > (A+B-C)(A+C-B)(B+C-A) = 16(A+B+C) (1) > > Logo, o produto da esquerda e par. Usando isso, por uma mera inspecao > direta concluimos que os lados A,B e C do nosso interesse se > enquadram em duas categorias possiveis, vale dizer, ou são todos pares > ou apenas dois deles são impares, não havendo uma terceira > possibilidade. Facamos entao : > > B+C-A = X, A+C-B=Y e A+B-C = Z > > Considerando que num triangulo qualquer lado e menor que a soma dos > outros dois, fica facil ver o seguinte : > > 1) X, Y e Z são inteiros pares > 2) X+Y+Z = A+B+C > 3) 2A=Y+Z, 2B=X+Z e 2C=X+Y > > E agora a expressao (1) pode ser colocada assim : > > XYZ / (X+Y+Z) = 16. E daqui, sai : > (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) (2) > > Seja S = (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ). Entao S = 1/16. E facil ver que as > tres fracoes que constituem S nao podem ser concomitantemente menores > que 1/48, sob pena de S ser menor que 1/16; igualmente, nao podem ser > simultaneamente maiores que 1/48, sob pena de S ser maior que 1/16. > Logo : > > 3) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser maior ou igual a 1/48. > 4) Ao menos uma das fracoes que constituem S deve ser menor ou > igual a 1/48. > > Seja portanto : XY =< 48 e XZ >= 48. > > Com as restricoes acima ja e possivel identificar os triangulos que > estamos procurando. Para ver como fazer isso, note que : > > (1/XY) + (1/XZ) + (1/YZ) = (1/16) => 16Z+16Y+16X=XYZ => > 16Y+16X = (XY - 16)Z => Z = (16Y + 16X) / (XY - 16) > > Mas Z >= 48/X. Logo : > (16Y + 16X) / (XY - 16) >= 48/X => 16/X < Y =< (24/X)+(X/2) > CASO X=2 ( Y =< 24 e Z >= 24 ) > > 16/2 < Y =< (24/2)+(2/2) => 8 < Y =< 13 => Y=10 ou Y=12 > > Y = 10 : > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) => Z = 48 > A=(10+48)/2=29, B=(2+48)/2=25 e C=(2+10)/2=6 > Triangulo1 : (A,B,C)=(29,25,6) > Valido > > Y=12: > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) => Z = 28 > A=(12+28)/2=20, B=(2+28)/2=15 e C=(2+12)/2=7 > Triangulo2 : (A,B,C)=(20,15,7) > Valido > > *** > > CASO X=4 ( Y =< 12 e Z >= 12 ) > > 16/4 < Y =< (24/4)+(4/2) => 4 < Y =< 8 => Y= 6 ou Y=8 > > Y = 6 : > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20 > A=(6+20)/2=13, B=(4+20)/2=12 e C=(4+6)/2=5 > Triangulo3 : (A,B,C)=(13,12,5) > Valido > > Y=8: > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12 > A=(8+12)/2=10, B=(4+12)/2=8 e C=(4+8)/2=6 > Triangulo : (A,B,C)=(10,8,6) > Valido > > *** > > CASO X=6 ( Y =< 8 e Z >= 8 ) > > 16/6 < Y =< (24/6)+(6/2) => 8/3 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6 > > Y = 4 : > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(10/8) => Z = 20 > A=(4+20)/2=12, B=(6+20)/2=13 e C=(4+6)/2=5 > Triangulo : (A,B,C)=(12,13,5) > Invalido : ja descoberto > > Y=6: > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/20) => Z = 9.6 > Invalido : Z nao e inteiro par > > *** > > CASO X=8 ( Y =< 6 e Z >= 6 ) > > 16/8 < Y =< (24/8)+(8/2) => 2 < Y =< 7 => Y= 4 ou Y=6 > > Y = 4 : > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/16) => Z = 12 > A=(4+12)/2=8, B=(8+12)/2=10 e C=(8+4)/2=6 > Triangulo4 : (A,B,C)=(8,10,6) > Invalido : ja descoberto > > Y=6: > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/32) => Z = 7 > Invalido : Z nao e inteiro par > > *** > CASO X=10 ( Y =< 4.8 e Z >= 4.8 ) > > 16/10 < Y =< (24/10)+(10/2) => 1.6 < Y =< 7.4 => Y= 2 ou Y=4 > > Y = 2 > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(12/4) => Z = 48 > A=(2+48)/2=25, B=(10+48)/2=29 e C=(10+2)/2=6 > Triangulo : (A,B,C)=(25,29,6) > Invalido : ja descoberto > > Y=4: > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24) => Z = (28/3) > Invalido : Z nao e inteiro par > > *** > > CASO X=12 ( Y =< 4 e Z >= 4 ) > > 16/12 < Y =< (24/12)+(12/2) => (4/3) < Y =< 8 => Y= 2 ou Y=4 > > Y = 2 > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/8) => Z = 28 > A=(2+28)/2=15, B=(12+28)/2=20 e C=(12+2)/2=7 > Triangulo : (A,B,C)=(15,20,7) > Invalido : ja descoberto > > Y=4: > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(14/24) => Z = 8 > A=(4+8)/2=6, B=(12+8)/2=10 e C=(12+4)/2=8 > Triangulo : (A,B,C)=(6,10,8) > Invalido : ja descoberto > > *** > CASO X=14 ( Y =< 3.4... e Z >= 3.4... ) > > A partir daqui, devido a restricao acima, basta analisarmos os casos em que > Y=2 > > Y = 2 > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(16/12) => Z nao e inteiro => o > triangulo e invalido > > *** > CASO X=16, Y=2 > > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(18/16) => Z = 18 > A=(2+18)/2=10, B=(16+18)/2=17 e C=(16+2)/2=9 > Triangulo5 : (A,B,C)=(10,9,17) > Valido > > *** > CASO X=18, Y=2 > > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(20/20) => Z = 16 > A=(2+16)/2=9, B=(16+18)/2=17 e C=(2+18)/2=10 > Triangulo : (A,B,C)=(9,17,10) > Invalido : ja descoberto > > *** > CASO X=20, Y=2 > > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(22/24) => Z = 44/3 > Invalido : Z nao e inteiro par > > *** > CASO X=22, Y=2 > > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(24/28) => Z = 96/7 > Invalido : Z nao e inteiro par > > *** > CASO X=24, Y=2 > > Z=16( (X+Y) / (XY-16) ) = 16(26/32) => Z = 13 > Invalido : Z nao e inteiro par > > *** > Existem portanto apenas 5 triangulos de lados inteiros nos quais o > raio do circulo inscrito vale 2. Sao eles : (29,25,6), > (20,15,7),(13,12,5), (10,8,6) e (10,9,17). > > E digno de nota que o triangulo de lados (10,8,6) tem o raio do > circulo inscrito igual a 2 e o raio do circulo circunscrito igual a 5, > ou seja, e um triangulo de lados inteiros cujos inraio e circunraio > sao ambos inteiros > > E claro que todos os triangulos da forma da forma (10N,8N,6N), onde N > > > = 1 detem esta peculiaridade, o mesmo podendo-se dizer dos triangulos > > > da forma (26N,24N,10N). > > Um Abraco a Todos > PSR,31905090A21 > > > 2009/2/13 Eduardo Wilner <eduardowil...@yahoo.com.br>: > > > Determinar todos os triangulos de lados inteiros (comprimento do lado = > inteiro) com inraio igual a dois. > > ________________________________ > Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - > Celebridades - Música - Esportes > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
