Marcelo e Hugo,
Muito obrigado pela ajuda.
O que vocês fizeram já ajudou...
A terceira questão é uma generalização
da segunda... vou ver se consigo
continuar de onde você parou.
Bem vindo de volta, Marcelo.
hehehee
abraços
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De: Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Enviadas: Quinta-feira, 10 de Setembro de 2009 19:18:10
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
Olá Diogo,
Nossa, qto tempo não participo aqui da OBI..
Bom, deixa eu tentar:
1) Veja que os únicos valores para x são 2 ou 2^k + 1, visto que qquer outro
valor iria "inserir"
um outro número primo ali e nunca teríamos a igualdade. Agora, basta testarmos:
Para x=2, temos: 1 * (4+2+1) = 7, que não é igual a 2^n para nenhum n.
Para x=2^k + 1, temos: (2^k + 1 - 1)((2^k+1)^2 + (2^k+1) + 1) = (2^k)*(2^(2k) +
2^(k+1) + 1 + (2^k+1) + 1)
Mas: 2^(2k) + 2^(k+1) + 2^k + 3 é ímpar, possuindo um primo diferente de 2 e,
portanto, nunca sendo igual a 2^n.
2) analisando x^2 = 2^n + 1 modulo 2, temos: x^2 == 1 (mod 2), portanto: x == 1
(mod 2), isto é, x é ímpar.
x = 2k+1, então: x^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2^n + 1, e: 4k^2 + 4k = 2^n.
Fatorando: 4k(k+1) = 2^n.. mas k(k+1) sempre terá um fator ímpar.
Se este fator ímpar for 1, temos k=1 e 4*2 = 2^n, logo: n=3, portanto, o par
(1, 3)
Agora, se este fator for outro ímpar, teremos um fator primo diferente de 2 e a
igualdade nunca será satisfeita.
Logo, o único par é (1, 3).
3) x^m = p^n + 1... olhando esta equação modulo p, temos:
x^m == 1 (mod p), isto é, x*x^(m-1) == 1 (mod p), isto é, só podem ser os
números em possuem inversa modulo p, e
cuja inversa é da forma x^(m-1). Desta maneira, sabemos que mdc(m, p) = 1,
visto que é uma condição necessária e suficiente para um número possuir inversa
módulo p.
Analisando x^m = p^n + 1 módulo p^k, k<=n, temos: x^m == 1 (mod p^k), então,
vemos que x*x^(m-1) == 1 (mod p^k). Isto é, mdc(x, p^k) = 1... mas isso não é
novidade, visto que mdc(x, p) = 1 implica mdc(x, p^k) = 1. O que acho
importante é que x tem inversa x^(m-1) módulo p^k, k<=n.
Estou pensando em como determinar os valores de x e m sabendo p e n, mas ainda
não cheguei a nada interessante ;) hehehe
Espero que o que eu fiz sirva pra alguma coisa ;) Fica ai para alguém continuar.
abraços,
Salhab
2009/9/10 Diogo FN <diog...@yahoo.com.br>
Eu tava estudando e não consegui resolver, essas 3 questões.
>
>01. Mostre que não existe x (natural) tal que (x - 1)(x² + x +1) = 2^n
>02. Determine todos os pares (x,n) (inteiros) tais que x² = 2^n + 1
>03. Fazer um estudo sobre as soluções da equação x^m = p^n + 1 , onde x, m,n,
>p são naturais e p é primo.
>
>Agradeço a todos.
>
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