Olá Rafael, estava pensando no seu problema e achei mto interessante! Se c=0, o resultado é imediato. Se c!=0, temos: c = -(a+b) Assim, queremos mostrar que 2a^4 + 2b^4 + 2(a+b)^4 é um quadrado perfeito, para todo a e b inteiros. Mas, (a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4
Portanto, temos: 4a^4 + 4b^4 + 8a^3b + 12a^2b^2 + 8ab^3 4(a^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3 + b^4) Bom, como sei que quero chegar em um quadrado perfeito, vou brincar com a seguinte expressão: (a^2 + vab + b^2)^2 = a^4 + v^2a^2b^2 + b^4 + 2va^3b + 2a^2b^2 + 2vab^3 hummm... interessante, pois ficamos com a^4 + 2va^3b + (v^2+2)a^2b^2 + 2vab^3 + b^4 Logo, fazendo v=1, temos exatamente a expressão que queremos. Assim, continuando a fatoração inicial: 4(a^2 + ab + b^2)^2, logo, é um quadrado perfeito! Não testei, mas pelo comentário do Rafael, acho que colocar a^2b^2 em evidência funciona. 4a^2b^2[(a/b)^2 + 2a/b + 3 + 2b/a + (b/a)^2] Gostei! (Dica: Faça y=a/b+b/a) Nunca tinha tentado com duas variáveis! ;) abraços, Salhab 2010/1/31 Rafael Cano <[email protected]> > Olá Thiago. > No ano passado eu estava olhando umas Eurekas e tinha um problema que > chegava numa fatoração muito parecida. Dá pra resolver do jeito que o Salhab > mostrou. Pra quem quiser, o problema era esse: > Eureka nº 10, p. 49. > *76. (Moldávia-2000) *Os números inteiros a, b, c satisfazem à relação a + > b + c = 0. Mostre que o número 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 é um quadrado perfeito. > > []s > Rafael > > 2010/1/31 Marcelo Salhab Brogliato <[email protected]> > > Olá Thiago, >> continuando de onde vc chegou: >> x^4+2x^3-x^2-2x+1 >> >> Veja que isso é um polinomio reciproco. >> Vamos colocar x^2 em evidência: >> >> x^2(x^2 + 2x - 1 - 2/x + 1/x^2) >> x^2[x^2 + 1/x^2 + 2(x - 1/x) - 1] >> >> Opa! Vamos fazer (x - 1/x) = y >> Assim: y^2 = x^2 - 2 + 1/x^2, logo: x^2 + 1/x^2 = y^2 + 2 >> Logo: >> >> x^2[y^2 + 2 + 2y - 1] >> x^2(y+1)^2 >> >> Substituindo (x - 1/x) = y, temos: >> x^2(x - 1/x + 1)^2 >> [x(x - 1/x + 1)]^2 >> (x^2 - 1 + x)^2 >> (x^2 + x - 1)^2 >> >> Que é um quadrado perfeito! ;) >> Obviamente existem outras maneiras de fatorar, só te apresentei a maneira >> clássica de polinomios reciprocos. >> >> Apenas para te mostrar o que vc percebeu qdo testou para vários casos, >> vamos chamar: >> f(x) = x^2 + x - 1 >> >> Vamos analisar a diferença de dois termos consecutivos: >> f(x+1) - f(x) = (x+1)^2 + (x+1) - 1 - x^2 - x + 1 = (x^2 + 2x + 1) + 1 - >> x^2 = 2x + 2 = 2(x+1) >> >> Que é justamente a PA de 2a. ordem que vc encontrou! >> >> abraços, >> Salhab >> >> >> >> 2010/1/31 Thiago Tarraf Varella <[email protected]> >> >> Eu vi aí na internet que a multiplicação de 4 naturais consecutivos mais >>> um dará sempre um quadrado perfeito... tentei provar isso mas só levei ferro >>> :/ >>> Olha, primeiro eu tentei fatorar: >>> (x-1)x(x+1)(x+2)+1 >>> (x²-1)x(x+2) >>> (x³-x)(x+2) >>> - >>> x4+2x³-x²-2x+1 >>> - >>> Tentei: >>> x²(x²) + 2x(x²) - 1(x²) - 2x+1 >>> x²(x²+2x-1)-2x+1 >>> ... >>> Tentei: >>> x³(x) + 2x²(x) - x(x) - 2(x) + 1 >>> x(x³+2x-x-2)+1 >>> ... >>> Resolvi procurar alguma semelhança nisso: >>> RAIZ[1*2*3*4+1]=5 >>> RAIZ[2*3*4*5+1]=11 >>> RAIZ[3*4*5*6+1]=19 >>> RAIZ[4*5*6*7+1]=29 >>> >>> Os resultados darão sempre assim: >>> 5 +6 >>> 11 +8 >>> 19 +10 >>> 29 +12 >>> 41 +14 >>> 55 +16 >>> ... + 18 >>> ... >>> >>> Mas não concluí nada com isso... alguém pode me dar uma luz aí por favor? >>> >>> ------------------------------ >>> Quer brincar com as suas fotos e fazer álbuns divertidos? Clique aqui e >>> saiba >>> como.<http://www.eutenhomaisnowindowslive.com.br/?utm_source=MSN_Hotmail&utm_medium=Tagline&utm_campaign=InfuseSocial> >>> >> >> >
