2010/2/2 marcone augusto araújo borges <[email protected]>: > Prove q as potências a,a^2,...,a^n,...de um número a>1 crescem e podem > tornar-se maiores do q qualquer número dado de antemão.Mais > precisamente:fixados arbitrariamente a>1 e A>0,é possível achar n natural > tal q a^n >A. > Um colega usou a desigualdade de Bernoulli. Considerou a=1+d. > Dai a^n=(1+d)^n >=1+ n*d. Tomou n=(A-1)/d. E concluiu q a^n>A. > Está certo? Certo está. Mas acho que o importante é que você se convença disso... e como Não adianta marretar que é verdade, para que algo seja, o importante é você ver porque funciona. Dica: use valores numéricos em todas as etapas, verifique as desigualdades etc e você talvez veja porque funciona. Ah, e faça muuuuitos desenhos, gráficos, etc...
> Poderiamos provar usando logaritmos? Sim e não. Sim, se você já provou que: 1) logaritmos estão bem definidos para qualquer valor real a (não se preocupe, você NÃO fez isso no ensino médio, e muito provavelmente também não na faculdade... é bem delicado de definir, precisa de sups, infs, ... e integrais) 2) log(a) > 0 se a > 1 3) Para todo x > 0, A > 0 dados de antemão, existe n natural tal que n*x > A. O problema é que, em geral, você precisa dessa propriedade das potências *antes* de definir o logaritmo, e para poder definir coisas que serão usadas para defini-lo. Portanto, a menos de fazer um monte de trabalho (de cão) para provar que o log está bem definido e usar, é melhor ficar com Bernouilli, ver a propriedade dos a^n, e depois fazer integrais e log. Isso é um dos problemas da construção da matemática: às vezes, é preciso fazer uma demonstração que não é "natural" (como usar logs aqui) porque isso seria uma dependência circular. Bom curso de análise, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
