n > (A-1)/d Em 2 de fevereiro de 2010 11:52, Bernardo Freitas Paulo da Costa < [email protected]> escreveu:
> 2010/2/2 marcone augusto araújo borges <[email protected]>: > > Prove q as potências a,a^2,...,a^n,...de um número a>1 crescem e podem > > tornar-se maiores do q qualquer número dado de antemão.Mais > > precisamente:fixados arbitrariamente a>1 e A>0,é possível achar n natural > > tal q a^n >A. > > Um colega usou a desigualdade de Bernoulli. Considerou a=1+d. > > Dai a^n=(1+d)^n >=1+ n*d. Tomou n=(A-1)/d. E concluiu q a^n>A. > > Está certo? > Certo está. Mas acho que o importante é que você se convença disso... > e como Não adianta marretar que é verdade, para que algo seja, o > importante é você ver porque funciona. Dica: use valores numéricos em > todas as etapas, verifique as desigualdades etc e você talvez veja > porque funciona. Ah, e faça muuuuitos desenhos, gráficos, etc... > > > Poderiamos provar usando logaritmos? > Sim e não. Sim, se você já provou que: > 1) logaritmos estão bem definidos para qualquer valor real a (não se > preocupe, você NÃO fez isso no ensino médio, e muito provavelmente > também não na faculdade... é bem delicado de definir, precisa de sups, > infs, ... e integrais) > 2) log(a) > 0 se a > 1 > 3) Para todo x > 0, A > 0 dados de antemão, existe n natural tal que n*x > > A. > > O problema é que, em geral, você precisa dessa propriedade das > potências *antes* de definir o logaritmo, e para poder definir coisas > que serão usadas para defini-lo. Portanto, a menos de fazer um monte > de trabalho (de cão) para provar que o log está bem definido e usar, é > melhor ficar com Bernouilli, ver a propriedade dos a^n, e depois fazer > integrais e log. Isso é um dos problemas da construção da matemática: > às vezes, é preciso fazer uma demonstração que não é "natural" (como > usar logs aqui) porque isso seria uma dependência circular. > > Bom curso de análise, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= >
