Acho que a desigualdade de Bernouilli é uma boa saída. A mais rápida que me ocorre. Mas uma outra prova é a seguinte:
Como a > 1, a = 1 + d para algum d > 0. Logo, a^(n + 1) = a a^n = (1 + d) a^n = a^n + d a^n > a^n. Logo, a sequência a^n é estritamente crescente. Se a^n for limitada, convergirá então, para seu supremo s, que não é termo de a^n. Para todo eps > 0, existe k tal que n > k implica que s - eps < a^n < s (1) Como a > 1, a(s - eps) < a . a^n = a^(n + 1) < s as - a eps < s eps > (a - 1)/a s Assim, (1), contrariamente à conclusão anterior, não pode ser satisfeita, para eps em (0, (a - 1)/a s]. Em outras palavras, se escolhermos eps suficientemente pequeno, o termo a^(n + 1) será maior que s, contrariando o fato de que s = sup a^n. Artur From: [email protected] To: [email protected] Subject: [obm-l] Uma ajuda Date: Tue, 2 Feb 2010 11:22:20 +0000 Prove q as potências a,a^2,...,a^n,...de um número a>1 crescem e podem tornar-se maiores do q qualquer número dado de antemão.Mais precisamente:fixados arbitrariamente a>1 e A>0,é possível achar n natural tal q a^n >A. Um colega usou a desigualdade de Bernoulli.Considerou a=1+d.Dai a^n=(1+d)^n >=1+ n*d.Tomou n=(A-1)/d.E concluiu q a^n>A.Está certo?Poderiamos provar usando logaritmos? Quer comprar na Internet com segurança? Instale grátis o Internet Explorer 8. _________________________________________________________________ Quer compartilhar fotos com seus amigos? Conheça agora o Windows Live Fotos. http://www.eutenhomaisnowindowslive.com.br/?utm_source=MSN_Hotmail&utm_medium=Tagline&utm_campaign=InfuseSocial
