Em 18 de maio de 2010 01:32, Johann Dirichlet <peterdirich...@gmail.com> escreveu: > Dado a um dígito de 0 a 9, seja X um conjunto finito de naturais não > nulos tal que nenhum deles contenha o dígito a na sua representação > decimal. Demonstre que a soma dos inversos dos elementos de X é menor > que 80.
Bem, este problema é mais ou menos fácil, se você pegar a ideia certa. O que se quer provar, no fim das contas, é que a série harmônica dos inversos dos naturais sem um certo dígito converge. E convergência de séries quase sempre é provada por comparação com uma PG. O dígito em si pouco importa, o raciocínio não muda (eu tive alguns problemas com o zero, mas nada de arrancar os cabelos...). Vou mostrar com o dígito 9. Bem, eu fiz mais ou menos assim (para facilitar a escrita, [a]=1/a: [2]=1/2=0,5): [1]+[2]+...+[8]=C (eu vou deixar assim, calculo depois) [10]+...+[18]< 9*[10] [20]+...+[28]< 9*[20] [30]+...+[38]< 9*[30] [40]+...+[48]< 9*[40] . . . [80]+...+[88]< 8*[80] Se eu somar estas desigualdades, obtenho um limitante de 9/10*([1]+[2]+...+[8])=9C/10. Daqui, eu tive uma ideia: e se calcularmos a soma dos inversos dos caras com exatamente K dígitos e sem o dígito 9? Depois é só somar estas parciais e provar que elas convergem. Veja com o 3 como fica: [100]+...+[108]< 9*[100] [110]+...+[118]< 9*[110] [120]+...+[128]< 9*[120] . . . [880]+...+[888]< 9*[880] Somando, obtemos um limitante de 9/10*(a soma dos inversos dos caras de 2 dígitos sem o 9), o que daria 81C/100=(9/10)^2C Analogamente, obtemos um limitante da forma (9/10)^n*C para a soma dos inversos dos caras com n dígitos. Se somarmos, temos algo como C*(1+9/10+(9/10)^2+...)=10*C Basta provar que 11C<80. Mas aí é só calcular e correr pro abraço! Fazendo a conta, obtemos C<3. > > -- > /**************************************/ > Quadrinista e Taverneiro! > > http://tavernadofimdomundo.blogspot.com >> Histórias, Poemas, Quadrinhos e > Afins > http://baratoeletrico.blogspot.com />> Ativismo Digital (?) > http://bridget-torres.blogspot.com/ >> Personal! Do not edit! > -- /**************************************/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com >> Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com />> Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ >> Personal! Do not edit! ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
