Primeiro uma pequena correção no enunciado: O conjunto deve ser de naturais *distintos*, se não bastava pegar 1+1+1+1... como contra exemplo
Mas não é necessário calcular a soma para todos os dígitos. Você calculou a soma dos inversos dos termos que não possuem o 9. Seja agora um conjunto de naturais distintos que não possui o dígito N. Eu vou criar um novo conjunto a partir desse da seguinte forma: Cada número eu vou trocar por outro que possui exatamente os mesmos dígitos no mesmo lugar exceto os dígitos 9s, que serão trocados por N. Cada número será trocado por outro menor ou igual, logo o seu inverso será maior ou igual. Além disso é fácil ver que os novos números serão distintos, pois essa transformação é bijetiva (eu posso pegar os Ns do novo conjunto e trocá-los por 9s e retornar ao conjunto original). Então esse novo conjunto é um conjunto de naturais que não possuem o 9, e foi provado que a soma de seus inversos é menor que 80. Como cada número do conjunto original é menor que seu correspondente do novo conjunto, concluímos que a soma dos inversos do conjunto original deve ser menor do que 80.
