Consegui a prova só agora:
Para b e 8040/b ->
4020/b + b/2 =
Para b -> 4020/b + b/2
Para 8040/b -> 4020.b/8040 + 8040/2b = 4020/b + b/2
Se tivesse achado na hora da prova teria economizado um tempo precioso e
resolvido algumas da parte B .
Date: Sun, 19 Sep 2010 13:39:13 -0300
Subject: Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Não vejo nada de errado na sua solução.Pelo contrário, excelente fatoração!!
Comecei a brincar com: (x+y+z)^2 e com a fatoração x^3+y^3+z^3-3xyz =
(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-xz-yz),cheguei em expressões "interessantes", mas
nenhuma que me ajudasse a tirar uma conclusão. ;)
abraços,Salhab
2010/9/19 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
Na questão 3 resolvi assim:
Somando as duas equações e ainda somando 1 em ambos os lados chegamos a:
(x+1).(y+1).(z+1) = 2^10
x,y,z podem ser 0, 1, 3, 7, 15, 31, 63
Os únicos cuja soma é 77 são:
63, 7, 7
31, 31, 15
No primeiro caso (x+1).(y+1).(z+1) = 2^6.2^3.2^3 = 2^12
No segundo caso: 2^5.2^5.2^4 = 2^14
Ou seja, problema sem solução.
Foi assim que resolvi, já que errei o número 2 acho que se errar esse também
não passo pra terceira fase hehe )';
Será que está certo?
Date: Sun, 19 Sep 2010 02:50:01 -0300
Subject: Re: [obm-l] Alguns problemas da prova
From: msbro...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Na questão 5, vamos primeiro escrever da seguinte forma:Prod{x=2, 4, 6, ...,
32} (x^4 + x^2 + 1) / ((x-1)^4 + (x-1)^2 + 1)
Fatorando, temos:x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = (x^2+1)^2 - x^2 = (x^2
+ x + 1)(x^2 - x + 1)
Analogamente:(x-1)^4 + (x-1)^2 + 1 = (x^2 - x + 1)(x^2 - 3x + 3)
Desta maneira:(x^4 + x^2 + 1) / ((x-1)^4 + (x-1)^2 + 1) = (x^2 + x + 1)/(x^2 -
3x + 3)
Vamos dizer que:a_n = x^2 + x + 1b_n = x^2 - 3x + 3
Assim, queremos determinar: Prod{n=2, 4, 6, ..., 32} a_n/b_n
Acho que falta só uma coisa:
a_(n-2) = (x-2)^2 + (x-2) + 1 = x^2 - 4x + 4 + x - 2 + 1 = x^2 - 3x + 3 = b_n
Um pouquinho mais de álgebra:Prod{n=2, 4, .., 32} a_n/b_n = = [ Prod{n=2, 4,
..., 32} a_n ] / [ Prod{n=2, 4, ..., 32} b_n ] =
= [ Prod{n=4, 6, ..., 34} a_(n-2) ] / [ Prod{n=2, 4, ..., 32} b_n ] == [ a_32 *
Prod{n=4, 6, ..., 32} a_(n-2) ] / [ b_2 * Prod{n=4, ..., 32} b_n ]= a_32 / b_2
== (32^2 + 32 + 1) / (2^2 - 3*2 + 3) =
= (1024 + 32 + 1) / (4 - 6 + 3) = = 1057
abraços,Salhab
2010/9/18 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
1) (O mais fácil) Um número inteiro N multiplicado por 33 resulta em um número
de base decimal cujos algarismos são todos 7. Para N menor que 0, determine a
soma dos algarismos do menor valor de N.
2) e 3) (Médio) (não me lembro)
4)(Médio) Dado um retangulo com duas linhas e quatro colunas, sabe-se que suas
8 casas devem ser coloridas de 3 cores distintas. Uma coluna é "corte" quando
suas duas casas são da mesma cor, determine o número de configurações possíveis
com apenas um "corte".
5) (Um pouquinho difícil, mas a mais legal) Calcule:
(2^4 + 2² + 1).(4^4 + 4² + 1).(6^4 + 6² + 1)...(32^4 + 32² + 1)
--------------------------------------------------------------Enviar-------------
-> barra de divisão
(1^4 + 1² + 1).(3^4 + 3² + 1).(5^4 + 5² + 1)...(31^4 + 31² + 1)
Parte B
1) (Médio) -> não lembro
2) (Fácil) Determine o conjunto verdade do sistema:
x + y + z = 77
xy + yz + zx + xyz = 946
Para x<=y<=z
3) (Um pouquinho difícil) Escobar gosta de jogar futebol. Entretanto ele
descobriu que sofre lesões se jogar dois dias consecutivos. Determine de
quantas maneiras Escobar pode jogar futebol em 10 dias sem sofrer lesões (a
cconfiguração em que ele não joga em nenhum dia também conta).
4) (Não tive tempo de fazer, chutei ) Em uma mesa de bilhar quadrada determine
a quantidade de ângulos de reflexão em que podemos posicionar uma bola em um
vértice do quadrado e ao bater na bola ela rebater 2010 vezes na mesa e acertar
outro vértice.
Abraço ai gente, tentei ai e me falem suas respostas pra eu ver se bateu,
embaixo estão as minhas.
1) 25
2) 8
3) 12
4) 2 mil e alguma coisa
5) 1057
ParteB
1) 36º
2) sem solução
3) 140
4) 3
