Basta demonstrar que, se a e b > 0 são racionais tais que raiz(b) é irracional, então, se a + raiz(b) é raiz de P (P com coeficientes racionais), então a - raiz(b) é também raiz de P. Sem perda de generalidade, basta demonstrar para o caso a = 0. (Demonstrado para este caso, se a + raiz(b) for raiz de P, então raiz(b) é raiz de Q(x) = P(x + a), cujos coeficientes são racionais. Logo, -raiz(b) é raiz de Q, de modo que P(a - raiz(b)) = Q(-raiz(b)) = 0).
Como b é racional e raiz(b) é irracional, então potências pares de raiz(b) são racionais e potências ímpares são irracionais da forma b^k raiz(b), com k inteiro >= 0. Sendo n o grau de P, se agruparmos as potências pares e ímpares de raiz(b) (deixo para vc os detalhes), vamos obter algo do tipo P(raiz(b)) = A + B raiz(b) P(-raiz(b)) = A - B raiz(b) Onde A e B são racionais. Como raiz(b) é irracional e P(raiz(b)) = 0, temos necessariamente que A = B = 0, o que implica P(-raiz(b)) = 0. Abraços Artur -----Mensagem original----- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviada em: quinta-feira, 20 de janeiro de 2011 07:58 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] FW: Raízes irracionais 2011/1/20 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>: > Se um número como 3 + raíz(2),por exemplo, é raiz de uma equação do segundo > grau,então 3 - raíz(2) também é. > Isso vale ,em geral,para uma equação de grau n?SE vale,como provar? Bom, primeiro, você tem que acertar o enunciado... se a equação for x^2 - 6 x + 11 + 2 raiz(2) x + 6 raiz(2) = (x - 3 - raiz(2))^2 = 0, você não terá 3 - raiz(2) Algo mais exato talvez seja "Se P(x) é um polinômio com coeficientes inteiros / racionais, e se a + b*raiz(c) é uma raiz de P(x) = 0, com a, b e c racionais, então a - b * raiz(c) também é raiz de P(x) = 0". A melhor forma de provar isso é começar como você pensou na equação de segundo grau. Você deve conseguir, usando a fórmula explícita da solução, provar que as "raízes conjugadas sempre aparecem". Para demonstrar mais geralmente, você talvez tenha que saber um pouco de álgebra. Aliás, isso é bem parecido com o fato de "se uma raiz de um polinômio com coeficientes reais for complexa, então tem outra raiz complexa, a conjugada *complexa*", e vale a pena ver como funcionam esses dois casos. Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
