Olá Na verdade isso nem chega a ser uma demonstração, mas sim uma verdade por definição. Por definição em uma PG cada termo é o anterior multiplicado por k. Como o primeiro termo não é multiplicado, o termo n é multiplicado por k n vezes, daí a_n = a_1.k^(n-1) Quando comecei a ler este email tinha quase certeza que você ia querer uma prova de PG que não fosse por fatoração.Por exemplo: A soma dos n 1os elementos de uma PG de razão k é a1.(k^n-1)/(k-1) Porquê? Primeira forma ( fatoração)Sabemos qque a soma dos elementos vale:a1 + a1.k + a1.k² + ... + a1.k^(n-1) = a1.(1 + k + k² + ... + k^(n-1))Mas se multiplicarmos (1 + k + k² + ... + k^(n-1)) por (k-1), teremos k^n - 1, pois todos os elementos se anulam, menos o primeiro e o últimoOu seja (1 + k + k² + ... + k^(n-1)) = (k^n-1)/(k-1)
Segunda forma (indução), mais matemáticaSe a1.(k^n-1)/(k-1)) vale para n, a1.(k^n-1)/(k-1) + a1.k^n teria de valer para n+1a1.(k^n-1)/(k-1) + a1.k^n = a1[ k^n-1 + (k-1)k^n ]/(k-1) = a1[ k^(n+1) - 1 ]/(k-1), que também faz sentido, logo como para 0 elemento faz sentido, para 1 fará, e como para 1 faz sentido, para 2 fará, e como para 2 fará, para 3 fara.... até o infinito, ou seja, qualquer número maior ou igual a 0 segue a fórmula. []'sJoão > From: argolopa...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Vale a "demonstração"? > Date: Wed, 18 May 2011 22:51:28 +0000 > > > > Caros Colegas, > > Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo > geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? > > DEMONSTRAÇÃO: > > Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo > termo da progressão. > > Portanto, por definição de progressão geométrica: > > a_2 = (a_1).q > > a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) > > E assim sucessivamente. Então: > > a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] > > Abraços do Paulo! > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================================
