Oi Paulo e demais colegasdesta lista ... OBM-L, Da forma como você apresentou, não, pois a a passagem de "a_n=(a_n-1).q" para "(a_1).[q^(n-1)]" não está suficientemente clara ... em verdade, nestapassagem você "já esta utilizando "justamente "aquilo que voce dever provar". Em casos simples tal como o que você apresenta, quando previamente já seconhece a fórmula final, é bastante comum o uso da indução matemática. Assim : a_2=a_1.q ( por definição )a_3=a_2.q ( por definição ) => a_3 =a_1.(q^2) ( usando o resultado da linha anterior ) Olhando estes dois casos e vendo a "ainda aparente" relação entre índice e o expoente, conjecturamos que : a_n=a_1.( q^(n-1) ) Supondo isso, teremos que : a_(n+1)=a_n.q por definição. Substituindo a hipótese de indução, chegamos a a_(n+1)=a_1.(a^n). Pelo principio da induçãofinita fica estabelecido que a expressão vale para todo n natural. Mas as provas por indução padecem de um mal fundamental, a saber, pressupõe o conhecimento prévio da expressão que devemos provar. Em geral, no cursode uma investigação, você não conhece previamente o que deverá demonstrar. Por exemplo, olhe este link aqui : http://math.stackexchange.com/questions/17320/derivation-of-the-partial-derangement-rencontres-numbers-formula lendo, verifica-se que alguns estudantes e pesquisadores estão procurando uma "fórmula" para o total de "arranjos caóticos" de comprimento P que podemosfazer de um total de N elementos. Como este problema está ainda hoje ( até agora, pois vou mostrar a solução abaixo ) em aberto e a solução pode ser vista como uma generalização do trabalho do Nicolau Bernoulli e Euler, eu achei que valia a pena pensar nele e deduzi que : Dn,k = Binom(N,K)*{ somatorio[ i variando de 1 até M , binom(N-i , N-M)*binom(N-M , i)* (!(K-i))] } onde, nesta formula : 1) M=min{K,N-K} 2) !N = N!*( (1/2!)-(1/3!) + ... + ( (-1)^N )*(1/N!) ) se N >= 23) !1=0 e !0=1 A demonstração não é trivial. Não apresento aqui porque isso é apenas o resultado inicial de uma pesquisa mais ampla que ainda não conclui. Mas o que quero ressaltar é que EU NÃO SABIA em qual expressão chegaria. Sabia apenas que chegaria em algum lugar. Neste sentido, o principio da indução tem pouca utilidade. Mas voce pode demonstrar o seu resultado assim : a_2 = a_1.qa_3 = a_2.q...a_n=a_(n-1).q multiplicando membro a membro as N-1 igualdades e eliminado os fatores comuns que aparecem nos dois membros, chegamos a : a_n=a_1.(q^(n-1) ) E agora não foi preciso usar indução. Em síntese, não há um roteiro padronizado para demonstrações. O que há são certos principios que devemos respeitar ( por exemplo, você não pode usar como certo algo que ainda não foi provado ). De resto, o que é importante é a sua sensibilidade e intuição, é ela que nos conduz a coisas significativas e que nos mostra como provar de forma irretorquivel aquilo que apenas vemos do outro lado, no mundo próprio da Matemática Um abração a TodosPSR, 5190511102A
> From: argolopa...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Vale a "demonstração"? > Date: Wed, 18 May 2011 22:51:28 +0000 > > > > Caros Colegas, > > Pode-se dizer que o procedimento empregado abaixo para determinar o termo > geral de uma progressão geométrica de razão q é uma real demonstração? > > DEMONSTRAÇÃO: > > Obs.: a_k , sendo k um número natural diferente de zero, indica o k-ésimo > termo da progressão. > > Portanto, por definição de progressão geométrica: > > a_2 = (a_1).q > > a_3 = (a_2).q = (a_1).(q^2) > > E assim sucessivamente. Então: > > a_n = (a_n-1). q = (a_1).[q^(n-1)] > > Abraços do Paulo! > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > =========================================================================
