Que coisa... Onde tá o meu erro, again?? De todo modo, o problema original tá resolvido! Acho que testei casos de graus que darão errado, e não os que dariam certo... Mas é facto: o polinômio deve ser par, e só terá expoentes pares.
Em 07/07/11, Carlos Yuzo Shine<[email protected]> escreveu: > Ué, P(x) = x^2 + 1 não dá certo? Essencialmente, sendo f(x) = x^2 + 1, > estamos > querendo resolver P(f(x)) = f(P(x)), e se f = P isso dá certo. > > Na verdade, f(x) = P(P(...P(x)...)) dá certo para qualquer quantidade de > vezes > que aplicamos P. Não sei se são todas as soluções, porém. > > []'s > Shine > > > ----- Original Message ---- > From: Johann Dirichlet <[email protected]> > To: [email protected] > Sent: Thu, July 7, 2011 10:01:22 AM > Subject: Re: [obm-l] P(x^2+1)=P(x)^2+1 > > Bem, voltando ao novo problema: > P(x^2+1)=(P(x))^2+1. > > O polinômio é mônico, basta aplicar uma ideia básica de limite para > saber o valor do coeficiente líder de P. > > Primeiro, se P(c)=c para algum c real então P(x)=x. É só usar a > formula acima para achar infinitos x tais que P(x)=x. E dois > polinomios que se intersectam infinitamente são iguais. > > Logo, podemos supor P(x) != x para todo x. > > O polinomio acima ou é par ou é ímpar. Basta ver que > (P(x))^2=(P(-x))^2, e ou P(x)=P(-x) pu P(x)=-P(-x). Como pelo menos > uma destas alternativas ocorre infinitas vezes, o polinômio ou é par > ou é ímpar. > > Mas se P(x) fosse ímpar, P(0)=0. E sabemos que P(x)!=x. Logo, o > polinomio procurado é par. > > Meu problema está sendo o seguinte: quando eu testo um polinômio (isso > mesmo, P(x)=x^4+bx^2+c, substituir e suar a caneta!), ele falha > miseravelmente. > Creio que este problema está sem solução, also... > > Em 01/07/11, Ralph Teixeira<[email protected]> escreveu: >> Melhorando aos poucos, ainda usando as ideias do Dirichlet: p(x) não pode >> ser ímpar. Se fosse, 0 seria raiz. Mas então 0^2+1=1 seria raiz, e 1^2+1=2 >> seria raiz, e 2^2+1=5 seria raiz... e p(x) não pode ter infinitas raízes. >> Então estamos à procura de um polinômio **par** p(x) tal que >> p(x^2+1)=[p(x)]^2. >> >> Aliás, esse raciocínio mostra que esse p(x) não pode ter nenhuma raiz real >> -- se tiver uma raiz real x, terá infinitas, já que x^2+1>x para todo x >> real. >> >> (Por enquanto, fico com a terrível impressão de que tal polinômio não >> existe... Alguém achou o dito cujo?) >> 2011/7/1 Ralph Teixeira <[email protected]> >> >>> O raciocínio do Dirichlet mostra que basta achar UM polinômio (não >>> constante) que tenha esta propriedade. Afinal, como ele mostrou, se p(x) >>> serve, então q(x)=(p(x))^2 também serve. >>> >>> Mas seja lá quem for o polinômio mágico, eu sei que ou ele é um polinômio >>> par ou ele é ímpar. Afinal, escreva p(x)=P(x)+I(x) onde P(x) tem apenas >>> os >>> termos de grau par e I(x) tem apenas os de grau ímpar. >>> >>> Ora, p(x)^2=(P^2+I^2)+2PI. Note que P^2+I^2 é um polinômio par e 2PI é >>> ímpar. >>> >>> Mas a condição manda que p^2=p(x^2+1), que é uma função par. Então o >>> termo >>> 2PI não pode existir, isto é, P=0 ou I=0. Assim, p(x) é par ou ímpar. E >>> x^2-x+1 não é um nem outro, então não funcionou... >>> >>> Então precisamos ainda mostrar que existe UM tal polinômio! >>> >>> Abraço, >>> Ralph >>> >>> P.S.: Tem certeza que o enunciado é esse mesmo? Não seria, sei lá, >>> p(x^2+1)=(p(x))^2+1 ao invés? >>> 2011/7/1 Johann Dirichlet <[email protected]> >>> >>>> Em 01/07/11, Johann Dirichlet<[email protected]> escreveu: >>>> > Em 30/06/11, marcone augusto araújo >>>> > borges<[email protected]> escreveu: >>>> >> >>>> >> 1) Se p é inteiro primo ímpar,mostre que o numerador da fração >>>> >> 1+1/2+1/3+...1/(p-1) é um múltiplo de p. >>>> > >>>> > 1) Teorema de Wolstenholme, se não me engano... >>>> > >>>> > Bora lá, usar o velho truque das pontas de Gauss: >>>> 1/k+1/(p-k)=p/(k(p-k)); >>>> > assim sendo, temos um monte de frações p/(alguma coisa). Esta coisa >>>> > não será múltipla de p em momento nenhum, logo nada aniquila este >>>> > fator p. >>>> > >>>> >> >>>> >> 2) Mostre que existem infinitos polinômios p(x) com coeficientes >>>> >> reais >>>> >> tais >>>> >> que p(x^2+1) = [p(x)]^2. >>>> >>>> É mais mole do que eu pensei! >>>> >>>> 1 - Se P e Q são soluções da equação acima, P*Q também será. Óbvio! >>>> 2 - Um polinômio possível é x^2-x+1. >>>> Como sei? Simples: >>>> >>>> Se L é um zero de P, então L^2+1 também será. >>>> Se eu conseguir L=L^2+1, terei uma solução pronta! >>>> Basta abrir o polinomio sem medo. >>>> >>>> >>>> P.S.: saber todas as soluções me parece mais desgastante. Aplicando a >>>> transformação T(L)=L^2+1 um numero finito de vezes, todos os >>>> polinômios dos pontos fixos são soluções. A treta é saber se não >>>> escapa nenhum (até porque muitos desses polinomios são fatoráveis, I >>>> think so). >>>> >>>> >> >>>> >> 3) Uma corda AB,de comprimento constante,desliza sobre uma >>>> >> semicircunferência determinada por um diâmetro d. >>>> >> Considere o triângulo cujos vértices são: o ponto médio da corda e as >>>> >> projeções ortogonais dos seus extremos A e B >>>> >> sobre o diâmetro d.Mostre que ,durante o deslizamento da corda,esse >>>> >> triângulo é sempre isósceles e nunca muda de formato(i.é.,os ângulos >>>> >> do >>>> >> triângulo são constantes) >>>> > >>>> > Faz um desenho! >>>> > Diâmetro r;centro O, raio 1; corda AB, tamanho d, médio M; AB >>>> > projetado em r dá XY. >>>> > >>>> > O triangulo AOB é obviamente isósceles. >>>> > Os quadrilateros XOMA e YOMB são inscritíveis de diâmetros OA e OB >>>> > respectivamente (angulos de 90 graus). >>>> > >>>> > Temos OXM=OAM=OBM=OYM, logo XMY é isosceles. E o angulo OBA depende >>>> > unicamente de d. >>>> > >>>> > P.S.: duvido que os triangulos sejam todos congruentes. O angulo XOM >>>> > define o tamanho de XM. >>>> > >>>> >> >>>> >> Meus agradecimentos por qualquer esclarecimento. >>>> > >>>> > >>>> > -- >>>> > /**************************************/ >>>> > 神が祝福 >>>> > >>>> > Torres >>>> > >>>> >>>> >>>> -- >>>> /**************************************/ >>>> 神が祝福 >>>> >>>> Torres >>>> >>>> ========================================================================= >>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>> ========================================================================= >>>> >>> >>> >> > > > -- > /**************************************/ > 神が祝福 > > Torres > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- /**************************************/ 神が祝福 Torres ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
