Bem, no avanço da ciencia, estou crente de algumas coisas: 1 - Fixado o grau, se o polinomio existir será único. Quando eu abro os expoentes, não há margem para substituições arbitrárias. Eu começo a crer nisto por experiência.
2 - O grau do polinômio seria uma potência de 2: grau 6 falha. Em 08/07/11, Johann Dirichlet<[email protected]> escreveu: > Que coisa... Onde tá o meu erro, again?? > > De todo modo, o problema original tá resolvido! > Acho que testei casos de graus que darão errado, e não os que dariam > certo... Mas é facto: o polinômio deve ser par, e só terá expoentes > pares. > > Em 07/07/11, Carlos Yuzo Shine<[email protected]> escreveu: >> Ué, P(x) = x^2 + 1 não dá certo? Essencialmente, sendo f(x) = x^2 + 1, >> estamos >> querendo resolver P(f(x)) = f(P(x)), e se f = P isso dá certo. >> >> Na verdade, f(x) = P(P(...P(x)...)) dá certo para qualquer quantidade de >> vezes >> que aplicamos P. Não sei se são todas as soluções, porém. >> >> []'s >> Shine >> >> >> ----- Original Message ---- >> From: Johann Dirichlet <[email protected]> >> To: [email protected] >> Sent: Thu, July 7, 2011 10:01:22 AM >> Subject: Re: [obm-l] P(x^2+1)=P(x)^2+1 >> >> Bem, voltando ao novo problema: >> P(x^2+1)=(P(x))^2+1. >> >> O polinômio é mônico, basta aplicar uma ideia básica de limite para >> saber o valor do coeficiente líder de P. >> >> Primeiro, se P(c)=c para algum c real então P(x)=x. É só usar a >> formula acima para achar infinitos x tais que P(x)=x. E dois >> polinomios que se intersectam infinitamente são iguais. >> >> Logo, podemos supor P(x) != x para todo x. >> >> O polinomio acima ou é par ou é ímpar. Basta ver que >> (P(x))^2=(P(-x))^2, e ou P(x)=P(-x) pu P(x)=-P(-x). Como pelo menos >> uma destas alternativas ocorre infinitas vezes, o polinômio ou é par >> ou é ímpar. >> >> Mas se P(x) fosse ímpar, P(0)=0. E sabemos que P(x)!=x. Logo, o >> polinomio procurado é par. >> >> Meu problema está sendo o seguinte: quando eu testo um polinômio (isso >> mesmo, P(x)=x^4+bx^2+c, substituir e suar a caneta!), ele falha >> miseravelmente. >> Creio que este problema está sem solução, also... >> >> Em 01/07/11, Ralph Teixeira<[email protected]> escreveu: >>> Melhorando aos poucos, ainda usando as ideias do Dirichlet: p(x) não >>> pode >>> ser ímpar. Se fosse, 0 seria raiz. Mas então 0^2+1=1 seria raiz, e >>> 1^2+1=2 >>> seria raiz, e 2^2+1=5 seria raiz... e p(x) não pode ter infinitas >>> raízes. >>> Então estamos à procura de um polinômio **par** p(x) tal que >>> p(x^2+1)=[p(x)]^2. >>> >>> Aliás, esse raciocínio mostra que esse p(x) não pode ter nenhuma raiz >>> real >>> -- se tiver uma raiz real x, terá infinitas, já que x^2+1>x para todo x >>> real. >>> >>> (Por enquanto, fico com a terrível impressão de que tal polinômio não >>> existe... Alguém achou o dito cujo?) >>> 2011/7/1 Ralph Teixeira <[email protected]> >>> >>>> O raciocínio do Dirichlet mostra que basta achar UM polinômio (não >>>> constante) que tenha esta propriedade. Afinal, como ele mostrou, se >>>> p(x) >>>> serve, então q(x)=(p(x))^2 também serve. >>>> >>>> Mas seja lá quem for o polinômio mágico, eu sei que ou ele é um >>>> polinômio >>>> par ou ele é ímpar. Afinal, escreva p(x)=P(x)+I(x) onde P(x) tem apenas >>>> os >>>> termos de grau par e I(x) tem apenas os de grau ímpar. >>>> >>>> Ora, p(x)^2=(P^2+I^2)+2PI. Note que P^2+I^2 é um polinômio par e 2PI é >>>> ímpar. >>>> >>>> Mas a condição manda que p^2=p(x^2+1), que é uma função par. Então o >>>> termo >>>> 2PI não pode existir, isto é, P=0 ou I=0. Assim, p(x) é par ou ímpar. E >>>> x^2-x+1 não é um nem outro, então não funcionou... >>>> >>>> Então precisamos ainda mostrar que existe UM tal polinômio! >>>> >>>> Abraço, >>>> Ralph >>>> >>>> P.S.: Tem certeza que o enunciado é esse mesmo? Não seria, sei lá, >>>> p(x^2+1)=(p(x))^2+1 ao invés? >>>> 2011/7/1 Johann Dirichlet <[email protected]> >>>> >>>>> Em 01/07/11, Johann Dirichlet<[email protected]> escreveu: >>>>> > Em 30/06/11, marcone augusto araújo >>>>> > borges<[email protected]> escreveu: >>>>> >> >>>>> >> 1) Se p é inteiro primo ímpar,mostre que o numerador da fração >>>>> >> 1+1/2+1/3+...1/(p-1) é um múltiplo de p. >>>>> > >>>>> > 1) Teorema de Wolstenholme, se não me engano... >>>>> > >>>>> > Bora lá, usar o velho truque das pontas de Gauss: >>>>> 1/k+1/(p-k)=p/(k(p-k)); >>>>> > assim sendo, temos um monte de frações p/(alguma coisa). Esta coisa >>>>> > não será múltipla de p em momento nenhum, logo nada aniquila este >>>>> > fator p. >>>>> > >>>>> >> >>>>> >> 2) Mostre que existem infinitos polinômios p(x) com coeficientes >>>>> >> reais >>>>> >> tais >>>>> >> que p(x^2+1) = [p(x)]^2. >>>>> >>>>> É mais mole do que eu pensei! >>>>> >>>>> 1 - Se P e Q são soluções da equação acima, P*Q também será. Óbvio! >>>>> 2 - Um polinômio possível é x^2-x+1. >>>>> Como sei? Simples: >>>>> >>>>> Se L é um zero de P, então L^2+1 também será. >>>>> Se eu conseguir L=L^2+1, terei uma solução pronta! >>>>> Basta abrir o polinomio sem medo. >>>>> >>>>> >>>>> P.S.: saber todas as soluções me parece mais desgastante. Aplicando a >>>>> transformação T(L)=L^2+1 um numero finito de vezes, todos os >>>>> polinômios dos pontos fixos são soluções. A treta é saber se não >>>>> escapa nenhum (até porque muitos desses polinomios são fatoráveis, I >>>>> think so). >>>>> >>>>> >> >>>>> >> 3) Uma corda AB,de comprimento constante,desliza sobre uma >>>>> >> semicircunferência determinada por um diâmetro d. >>>>> >> Considere o triângulo cujos vértices são: o ponto médio da corda e >>>>> >> as >>>>> >> projeções ortogonais dos seus extremos A e B >>>>> >> sobre o diâmetro d.Mostre que ,durante o deslizamento da corda,esse >>>>> >> triângulo é sempre isósceles e nunca muda de formato(i.é.,os >>>>> >> ângulos >>>>> >> do >>>>> >> triângulo são constantes) >>>>> > >>>>> > Faz um desenho! >>>>> > Diâmetro r;centro O, raio 1; corda AB, tamanho d, médio M; AB >>>>> > projetado em r dá XY. >>>>> > >>>>> > O triangulo AOB é obviamente isósceles. >>>>> > Os quadrilateros XOMA e YOMB são inscritíveis de diâmetros OA e OB >>>>> > respectivamente (angulos de 90 graus). >>>>> > >>>>> > Temos OXM=OAM=OBM=OYM, logo XMY é isosceles. E o angulo OBA depende >>>>> > unicamente de d. >>>>> > >>>>> > P.S.: duvido que os triangulos sejam todos congruentes. O angulo XOM >>>>> > define o tamanho de XM. >>>>> > >>>>> >> >>>>> >> Meus agradecimentos por qualquer esclarecimento. >>>>> > >>>>> > >>>>> > -- >>>>> > /**************************************/ >>>>> > 神が祝福 >>>>> > >>>>> > Torres >>>>> > >>>>> >>>>> >>>>> -- >>>>> /**************************************/ >>>>> 神が祝福 >>>>> >>>>> Torres >>>>> >>>>> ========================================================================= >>>>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>>>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>>>> ========================================================================= >>>>> >>>> >>>> >>> >> >> >> -- >> /**************************************/ >> 神が祝福 >> >> Torres >> >> ========================================================================= >> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> >> >> ========================================================================= >> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> > > > -- > /**************************************/ > 神が祝福 > > Torres > -- /**************************************/ 神が祝福 Torres ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
