2011/9/16 Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com>:
> 2011/9/16 luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br>
>> Alguém sabe se exsite algum teorema que defina as condições para que, dado 
>> um conjunto de n pontos (no R2, por exemplo), exsita uma equação para a 
>> curva Cx,y que passe por estes pontos.
>
> Um teorema "ótimo" no sentido de achar o menor grau (combinado) do
> polinômio me parece *bastante* difícil de demonstrar...
Bom, eu fui (obviamente) pessimista demais quanto aos conhecimentos
atuais sobre esse tipo de problemas.

Não é difícil ver que um polinômio de grau = d em duas variáveis
possui termos do tipo X^i Y^j com i+j <= d, i >= 0, j >= 0. Há,
portanto, tantos termos quanto soluções de i+j+k = d, com k >= 0.
(Para quem é familiar com projetiva: estamos incorporando um termo Z^k
para que o polinômio fique homogêneo) E recentemente na lista a gente
viu que isso dá binomial (d+2, 2) = (d+2)(d+1)/2. Ora, se
multiplicarmos todos os termos da equação por a diferente de 0, o
lugar dos zeros não muda (porque a*P(x) = 0 <=> P(x) = 0). Assim, os
polinômios de grau d possuem (d+2)(d+1)/2 coeficientes que podemos
modificar para modificar a curva que ele traça em R^2, mas temos que
descontar as homotetias, ou seja, um parâmetro. Isso dá, portanto,
(d^2 + 3d)/2 parâmetros possíveis, e garante que por (d^2 + 3d)/2
pontos (em posição geral) sempre passa uma curva de grau d. Se os
pontos não estiverem em posição geral, talvez passe uma curva de grau
*menor*. O que já é bem melhor que a minha estimativa inicial com
polinômios interpoladores de Lagrange.

Para quem quiser ver o que me inspirou, a primeira página de
http://arxiv.org/pdf/1011.1686 não é tão difícil assim de se ler.

Abraços,
-- 
Bernardo Freitas Paulo da Costa

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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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