2011/9/16 Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]>: > 2011/9/16 luiz silva <[email protected]> >> Alguém sabe se exsite algum teorema que defina as condições para que, dado >> um conjunto de n pontos (no R2, por exemplo), exsita uma equação para a >> curva Cx,y que passe por estes pontos. > > Um teorema "ótimo" no sentido de achar o menor grau (combinado) do > polinômio me parece *bastante* difícil de demonstrar... Bom, eu fui (obviamente) pessimista demais quanto aos conhecimentos atuais sobre esse tipo de problemas.
Não é difícil ver que um polinômio de grau = d em duas variáveis possui termos do tipo X^i Y^j com i+j <= d, i >= 0, j >= 0. Há, portanto, tantos termos quanto soluções de i+j+k = d, com k >= 0. (Para quem é familiar com projetiva: estamos incorporando um termo Z^k para que o polinômio fique homogêneo) E recentemente na lista a gente viu que isso dá binomial (d+2, 2) = (d+2)(d+1)/2. Ora, se multiplicarmos todos os termos da equação por a diferente de 0, o lugar dos zeros não muda (porque a*P(x) = 0 <=> P(x) = 0). Assim, os polinômios de grau d possuem (d+2)(d+1)/2 coeficientes que podemos modificar para modificar a curva que ele traça em R^2, mas temos que descontar as homotetias, ou seja, um parâmetro. Isso dá, portanto, (d^2 + 3d)/2 parâmetros possíveis, e garante que por (d^2 + 3d)/2 pontos (em posição geral) sempre passa uma curva de grau d. Se os pontos não estiverem em posição geral, talvez passe uma curva de grau *menor*. O que já é bem melhor que a minha estimativa inicial com polinômios interpoladores de Lagrange. Para quem quiser ver o que me inspirou, a primeira página de http://arxiv.org/pdf/1011.1686 não é tão difícil assim de se ler. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
