2011/9/16 luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br> > Ola Bernardo, Oi Luiz,
> Essa pergunta me veio a cabeça qdo vi a figura (espiral) gerada qdo partimos > do triangulo retangulo de lados 1,1 para "construir" o numero 2^(1/2), e > continuamos, construindo sucessivamente os números (3)^(1/2), 4^(1/2)..... Hum.... > Ou seja, considerando os extremos (intercessão das hipotenusas com os catetos > "externos"), existe alguma equação que defina a curva (no caso, a espiral) > que passe por todos estes pontos? Mais uma vez, seja mais "explícito" quanto ao que você considera uma equação. É claro que existe uma equação f(x,y) = 0 que é satisfeita apenas pelos pontos (x,y) que você deu. (definida por isso mesmo... e digamos 1 para todos os outros pontos). Isso não é uma função contínua, mas você não falou nada... E pedir apenas continuidade ainda não vai resolver o problema. Como você pede que a curva "passe" pelos pontos (x_n, y_n) (que eu não vou calcular), então eu imagino que você queira uma função que valha zero numa curva, e certamente existe uma equação com uma função contínua. (Digamos, uma função que vale zero nos segmentos ligando os pontos, vale um "longe" e "liga os pontos". Para que ligar seja contínuo, tem que ter um pouco de cuidado, mas não é difícil. Funções contínuas fazem "quase tudo que você quiser"). E uma vez que você conseguir fazer funções contínuas, não é difícil de fazer para funções infinitamente diferenciáveis, no seu caso... Se você quiser uma equação polinomial, não tem jeito. Porque essa espiral justamente dá infinitas voltas em torno da origem. Essencialmente porque o ângulo é arctg(1/raiz(n)), que vale aproximadamente 1/raiz(n) quando n é grande, que é uma série não-somável. Ora, se houvesse uma equação polinomial que correspondesse a esses pontos, em particular tomando Y=0 você teria um polinômio em X com infinitas raízes. Talvez possa existir alguma equação transcendente (neste caso, dada por funções analíticas) passando por esses pontos, e cujo conjunto de zeros é de dimensão 1, mas daí os argumentos que eu dei não funcionam mais. Acho que você teria que apelar para um teorema de "fatoração" de funções analíticas, e eu não sei se é fácil de adaptar a fórmula de Weierstrass (que faz produtos infinitos de (1 - x/a_n)*W(x/a_n) onde a_n são as raízes e E é uma função "mágica" para fazer o produto convergir par todos os x) para duas variáveis. Talvez seja. > ps : não sei se a figura e o problema que apresentei ficaram claros. A figura ficou. O problema continua "estranho". Eu *acho* que você gostaria de uma fórmula SIMPLES, do tipo cos(y) * sin(x) = exp(x) ^2 / exp(y)^3, e não uma simples demonstração de existência tirada do chapéu com teoremas "abstratos". Mas enquanto você não me definir o que você entende por "fórmula simples", eu não posso fazer grandes coisas... > Abs > Felipe Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
