2011/12/27 Eduardo Wilner <[email protected]> > > QH = KP é um postulado? Não, foi pressa mesmo...
O pior é que dá a resposta que o marcone procurava... Bom, vejamos se eu consigo provar que QH = KP no ponto de mínimo. Suponha (de novo) a <= b. Agora, suponha que P está mais longe da hypotenusa do que Q. (no meu desenho, a hipotenusa é horizontal, portanto P está "mais em cima") Seja P' = ponto no cateto tal que QH = KP' (ou seja, P'Q paralelo à hipotenusa, "P' na mesma altura que Q"), e seja X a projeção de P sobre P'Q (ou seja, P'PX é retângulo em X, semelhante ao triângulo formado pela altura). Passando de QP para QP', o comprimento aumenta *menos* do que P'X (pela desigualdade triangular, QP > QX) , mas passando de PK para P'K', você diminui de PX = P'X * tangente. E tangente >= 1 porque a é o menor cateto. Assim, teremos sempre "P mais baixo do que Q" para minimizar. A outra parte não é tão direta assim (acho que inclusive não é bem verdade). Por outro lado, podemos reutilizar a minha demonstração. Veja que mesmo se QH != KP, temos que de qualquer forma QP >= (c - x - y) (pela desigualdade triangular). Assim, L >= x * b/a + y * a/b + (c - x - y), e como a <= b, quanto maior y, menor essa condição. Se tomarmos y máximo (ifu > De: Bernardo Freitas Paulo da Costa <[email protected]> > Assunto: Re: [obm-l] Geometria > Para: [email protected] > Data: Segunda-feira, 26 de Dezembro de 2011, 19:47 > > 2011/12/26 marcone augusto araújo borges <[email protected]>: > > São escolhidos dois pontos P e Q,um cada cateto de um triângulo > > retângulo.As medidas dos comprimentos dos catetos são a e > > b,respectivamente.Sejam K e H as projeções de P e Q,respectivamente,sobre a > > hipotenusa.Determine o menor valor possível para KP + PQ + QH. > Bom, vou dar uma idéia só: > Desenhe o seu triângulo com a hipotenusa na horizontal. Daí, marque os > valores notáveis dos triângulos retângulos: > catetos a, b, hipotenusa c (c^2 = a^2 + b^2) > a altura h > p + q = c as duas partes da hipotenusa de cada lado da altura. > > Seja x a distância entre K e o vértice. Ache o valor de KP por > semelhança. Note que QH = KP, logo você pode achar y = distância de H > até o outro vértice do mesmo jeito. Note que PQ = c - x - y. Juntando > tudo, simplificando, usando que cp = a^2 e cq = b^2, você vai chegar > numa fórmula quadrática em x, do tipo M - N^2 x, e daí o mínimo ocorre > quando x é máximo (ou seja, igual a p). Faça as contas de novo e você > deve chegar na sua fórmula. > > > O gabarito dá como resposta 2ab/raiz(a^2+b^2) > Pensando um pouco mais, isso é 2*altura (note que ab = ch). Num > problema desses, é bem razoável começar com um chute que o > mínimo/máximo deve estar numa situação limite (nem que seja pra ter > uma idéia) e daí você vê que um caso o valor é esse, no outro é c = > raiz(a^2 + b^2). Que é maior do que isso por MA >= MG. Olhando o > argumento acima, você nota que a transformação depende de forma linear > em x (porque tudo é semelhança), logo mínimo e máximo estão nesses > dois opostos. Corolário: se o triângulo for, além de retângulo, > isósceles (ou seja, 45-45-90) todos os valores são os mesmos. > > > Agradeço a quem puder ajudar. > > Abraços, > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
