Em 10 de março de 2012 07:29, João Maldonado <[email protected]> escreveu: > Olá a todos, > > Estou fazendo um curso de treinamento para o ITA aqui em SJC (Poliedro). Meu > professor de matemática propôs 3 listas de fatoração para treinamento, sendo > que o exercício 7 da lista final (aliás, cada exercício cai até a letra z :D > ) seria um desafio. > > Entre todos os itens do exercício, 4 deles são de IMO, que eu não consegui > resolver nenhum :' ( , e dos outros tem mais 3 que também não saquei a > idéia. Como esse exercício é o único que não contém gabarito nem dica peço > a vcs se puderemque me dêem uma dica (não quero a resposta ou resolução em > si, mas como muitos de vocês já tiram os problemas da IMO na ponta da > língua, uma dica para ajudar a desenvolver o problema).
Cara, esse seu professor pega pesado! Se bem que eu já vi prova do ITA que saía em duas linhas com Médias, não estou espantado... > > Os problemas são os seguintes: > > a) (IMO 2000) A, B, C reais positivos tais que ABC = 1, prove que > (A-1+1/B)(B-1+1/C)(C-1+1/A) <= 1 Uma maneira interessante seria você fazer uma substituição esperta, como A=b/c, B=c/a e C=a/b. Abre tudo e cê cai numa desigualdade, a de Schur. > > > c) (IMO 1995) a, b, c reais positivos tais que abc = 1, prove que > 1/(a³(b+c)) + 1/(b³(c+a) + 1/(c³(a+b)) >= 3/2 Existem diversos modos de resolver esta parada. O que eu acho mais inteligente é primeiro fazer a=1/A, b=1/B e c=1/C. A conta resultante fica mais fácil de trabalhar que estes monstrinhos. Mas, para continuar, vou te passar uma técnica: homogenização. Depois da transformação acima, escreva A=x/R, B=y/R e C=z/R. Assim, se ABC=1 então xyz=R^3. Aí, substitui na inequação, você terá algo que envolve quatro variáveis - mas, basta escrever o R em função de x,y,z. Vão aparecer umas raízes cúbicas, mas pra facilitar você escreve X=x^3,Y=y^3,Z=z^3. Aí, as raízes somem, e resta que tu seja macho para tirar o mínimo dos denominadores...; > > e) (IMO 1974) a, b, c, d reais positivos, encontre todos os possíveis > valores da soma a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d) Um pouco de limites e continuidade. É meio que uma expressão pra brincar, sabe? Primeiro, teste com a=b=c=1, e varie o d para ver que valores você alcançaria. Depois disso, você teria que mostrar valores M e m tais que m < a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d) < M e provar que você pode chegar perto de M e m o quanto quiser, sem ser possível igualar... > > f) a, b, c, d reais positivos, prove que ((a²+b²+c² +d²)/4)^(1/2) >= ((abc + > abd+ acd + bcd)/4)^(1/3) Médias Potenciais? Talvez uma mudança de variáveis... Mas, se der muita dica, acabo por resolver isto aí. > > h) (IMO 1961) Sendo a, b, c lados de um triângulo de lado A, demonstre que > a² + b² + c² >= 4sqrt(3) A (Desigualdade de Weitzenböck) (nesse caso vale a > pena usar Heron?) > Não precisa ir tão longe - Heron vai derreter o problema em um monte de raízes! É melhor usar Médias e alguma coisa de áreas, como abc=4SR, em que S é a área e R é o circunraio do triângulo. > k) Demonstre a Desigaldade das médias potenciais Essa é fácil: use Jensen na função f(x)=x^p! > > p) Seja as frações a = (x; x²;x³;x^4), b = (1;x³;x²;x^5), c=(x²;x;x^4;x^5), > Resolva a = b-c Explique-se! > > []'s > João -- /**************************************/ 神が祝福 Torres ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
