Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que f(x+1) >
f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao infinito, temos que
f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos f(x) = 2, logo para
qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) < 2, além disso f(x) > 0
e f(x) >= f(1) = raiz(2) =~ 1.4
Elevando ao quadrado desse modo:f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) -> f(x)² -
2 = f(x-1) -> (f(x)²-2)²-2 = f(x-2), repetindo isso x vezes temos ->
(((((....(f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider 1 e
termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) é
racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional.
[]'sJoão
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Provar que é irracional...
Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 +0000
Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n raizes,é
irracional?
