João, muito cuidado quando vc fez x tender ao infinito e ficou com: f = raiz(2 + f), pois isso só é verdade se f(x) convergir. Como, neste caso, f(x) de fato converge, sua resposta está correta.
Mas veja em outras situações: S_n = 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^n S_n = 1 + 2*(1 + 2 + 4 + ... + 2^(n-1)) S_n = 1 + 2*S_(n-1) Fazendo n tender ao infinito, temos: S = 1 + 2S => S = -1, claramente absurdo! Outra situação: S_n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n S_n = S_(n-1) + 1/n Fazendo n tender ao infinito, temos: S = S + 0 => S = 0, claramente absurdo! Outra situação: S_n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... (n vezes) S_n = 1 - S_(n-1) Fazendo n tender ao infinito, temos: S = 1 - S => S = 1/2, claramente absurdo! O que você provou foi: Se f(x) convergir, então ele converge para 2. Para completar sua prova de que f(x) converge para 2, falta provar que f(x) de fato converge. Abraços, Salhab 2012/3/24 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com> > Bom, sendo f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...), x vezes, é óbvio que > f(x+1) > f(x), Logo o valor máximo é f(infinito), mas se x tende ao > infinito, temos que f(x) = raiz(2 + f(x)), que elevando ao quadrado temos > f(x) = 2, logo para qualuqer x diferente do infinito (que é o caso), f(x) < > 2, além disso f(x) > 0 e f(x) >= f(1) = raiz(2) =~ 1.4 > > Elevando ao quadrado desse modo: > f(x) = raiz(2 +raiz(2 + raiz(2+...) -> f(x)² - 2 = f(x-1) -> (f(x)²-2)²-2 > = f(x-2), repetindo isso x vezes temos -> > (((((....(f(x)²-2)²-2)²-2...²-2)=0, que expandindo tem coeficiente lider > 1 e termo independendo -2, logo pelo teorema das raízes racionais, se f(x) > é racional, é -2, -1, 1, ou 2, absurdo, logo f(x) é irracional. > > []'s > João > > ------------------------------ > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Provar que é irracional... > Date: Sat, 24 Mar 2012 21:56:30 +0000 > > > Como provar q raiz(2+raiz(2+raiz(2+...raiz(2)),generalizando para n > raizes,é irracional? >
