Opa! Novamente não consigo ver *tanta banalidade*... devo ter algum problema com geometria... rs!
Concordo com o argumento de que todos os polígonos têm perímetro menor que o da circunferência (2 . pi . R), mas não vejo como garantir, sem uma prova de fato, a monotonicidade proposta na sua argumentação. Quando aumentamos o número de lados, dois fatos ocorrem: N (número de lados) realmente aumenta, mas o valor do lado L(N) diminui. Como garantir que esse produto é crescente?! Só vejo uma maneira: Considerar a seguinte função f [3, +00) ---> R tal que f(N) = 2R . N . sen (pi/N) (nessa expressão, N é o número de lados e R, o raio do círculo circunscrito ao polígono). Realmente essa função é crescente mas o porquê disso ocorrer, creio não ser tão simples como mencionado. Temos que analisar a primeira derivada e garantir que seu valor é positivo. Enfim, quero crer que exista uma bonita solução por geometria também. Em 26 de março de 2012 15:05, Albert Bouskela <bousk...@msn.com> escreveu: > Olá!**** > > ** ** > > Bem, na verdade, é mesmo banal.**** > > ** ** > > Veja que, dentre os polígonos regulares inscritos em um círculo de raio > constante, aquele que tem o menor perímetro é o triângulo (porque é o que > tem o menor número de lados). A partir daí, quando aumentamos o número de > lados (quadrado, pentágono...), o perímetro também aumenta, porque o > polígono se aproxima do círculo no qual está inscrito. No limite, quando o > número de lados tende para o infinito, chega-se ao perímetro máximo: o > perímetro do próprio círculo (2 pi r).**** > > ** ** > > Albert Bouskela**** > > bousk...@msn.com**** > > ** ** > > *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] *Em > nome de *Marcos Martinelli > *Enviada em:* 26 de março de 2012 14:06 > *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular** > ** > > ** ** > > Não sei se provar que o perímetro do hexágono é menor que o do heptágono é > assim *tão banal*.**** > > ** ** > > Deu trabalho pra eu demonstrar isso (como feito em email anterior).**** > > ** ** > > Mas, com certeza, deve ter um jeito bem mais simples do que as funções que > analisei.**** > > Em 26 de março de 2012 10:26, Carlos Nehab <carlos.ne...@gmail.com> > escreveu:**** > > Oi, Felipe, > Sim, Felipe, há uma solução por desigualdades, que funciona porque as > opções facilitam... > Solução banal: analisando o perímetro do hexagono e do octógono regular > inscritos no mesmo círculo (o perímetro do heptágono estará entre eles...) > Perímetro do hexagono = 6x2,5 = 15 (logo, a opção *a* está errada) > Perímetro do octógono é 8x2x2,5xsen22,5=40sen22,5 > Mas sen^2(22,5) = (1-cos45)/2=0,15. Como raiz(0,15) <0,4, o perímetro do > octógono <16 > Resposta: opção b - entre 15 e 16. > Pronto. Este exercício foi proposto para qual série? > > Abraços, > Nehab > > > Em 25/03/2012 11:21, felipe araujo costa escreveu: **** > > Obrigado Érica.**** > > Mas queria saber se ha uma soluçao por desigualdade dos lados.**** > > Abraço.**** > > **** > > Felipe Araujo Costa > Cel: 77430066 > E-mail: faraujoco...@yahoo.com.br > faco...@metalmat.ufrj.br**** > ------------------------------ > > *De:* Érica Gualberto Pongelupe Giacoia > <profer...@ig.com.br><profer...@ig.com.br> > *Para:* obm-l@mat.puc-rio.br > *Enviadas:* Domingo, 25 de Março de 2012 10:30 > *Assunto:* [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular**** > > ** ** > > Use a lei dos cossenos e calcule a medida do lado x. > x^2=2,5^2+2,5^2-2*2,5*2,5*cos(360/7) > Depois, basta multiplicar x por 7. > Abração**** > > Em 25 de março de 2012 10:14, felipe araujo costa < > faraujoco...@yahoo.com.br> escreveu:**** > > Bom dia.**** > > Preciso de uma ajuda nessa questão. Quero saber se ha uma resolução por > desigualdade entre os lados do heptagono.**** > > Obrigado.**** > > ** ** > > ** ** > > - O perímetro do heptágono regular convexo inscrito num círculo de > raio 2,5, é um número real que esta entr**** > > **** > > a)14 e 15**** > > b)15 e 16**** > > c)16 e 17**** > > d)17 e 18**** > > e)18 e 19**** > > ** ** > > Felipe Araujo Costa**** > > > > > -- > Érica G. P. G.**** > > ** ** > > ** ** > > ** ** >
