Peço desculpas por ter sido muito formal nesta questão. É que, pra mim,
realmente não foi tão intuitivo supor que o perímetro seria crescente. Deve
haver sim uma solução por geometria pura, mas ficarei devendo.
Agora, quanto à questão levantada pelo último email, posso contribuir um
pouco:
Suponha um polígono qualquer, de N lados, inscrito em uma circunferência de
raio R. Vou tentar provar que seu perímetro é sempre menor ou igual ao
perímetro do polígono regular de N lados inscrito nessa mesma
circunferência.
Seja 2p_(N) seu perímetro, que poderá ser calculado da seguinte maneira:
2p_(N) = sum_{i=1}^{n} 2R . sen (teta_i / 2), onde teta_i é o ângulo
formado pelo centro do círulo (O) e os vértices P_i e P_i + 1 (sendo o
índice i visto como sendo tomado módulo N. Ou seja, P_(N + 1) corresponde a
P_1).
Importante notar que aqui a prova se subdivide em duas possibilidades:
i) O está contido no polígono. Repare que isso implica sum_{i=1}^{N} teta_i
= 2 . pi (*)
Voltando ao perímetro exposto acima, teríamos:
2p_(N) = 2R . sum_{i=1}^{n} sen (teta_i / 2) = 2RN . [(sum_{i=1}^{n} sen
(teta_i / 2)) / N]. Aqui vamos aplicar a desigualdade de Jensen (para isso,
observe que 0 <= teta_i/2 <= pi / 2).
Vamos considerar, então, a função: f(0,pi/2) --> R tal que f(x) = sen(x/2).
Repare que f´´(x) = - 1/4 . sen(x/2) < 0 para todo x no domínio (0,pi/2).
Assim, podemos afirmar:
(sum_{i=1}^{n} sen (teta_i / 2)) / N <= sen(1/2 . (sum_{i=1}^{N} teta_i) /
N) = sen( pi / N). Essa última igualdade ocorre por causa de (*).
Portanto: 2p_(N) <= 2RN . sen(pi/N). Aqui a igualdade só ocorre se todos os
teta_i forem iguais, o que implica ser o polígono regular.
ii) O não está contido no polígono. Perdemos, então, a igualdade (*). Mas
ainda temos que vale Jensen. Portanto:
2p_(N) = 2R . sum_{i=1}^{n} sen (teta_i / 2) = 2RN . [(sum_{i=1}^{n} sen
(teta_i / 2)) / N] <= 2RN . sen(1/2 . (sum_{i=1}^{N} teta_i) / N).
Aqui temos uma particularidade interessante: um dos ângulos teta_i, digamos
o N-ésimo (SPG), é igual a soma de todos os demais. Assim: 2p_(N) <= 2RN .
sen(teta_N / N) < 2RN . sen(pi / N). Essa última desigualdade vale porque
teta_N é sempre inferior a pi.
