Ou, para evitar totalmente congruências e coisas assim, note que
n^2+1=(n+2)(n-2)+5. Então:
n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)
O primeiro termo tem 5 números consecutivos, então é divisível por 2, 3 e
5. O segundo tem 3 números consecutivos e aquele fator 5, então também é.
Abraço,
Ralph
2013/4/18 Nehab <[email protected]>
> Oi, Mauricio,
>
> Apenas uma obs para evitar congruências (em seu argumento de
> divisibilidade por 5) e, assim, tornar a questão accessível para quem não
> aprendeu este conteúdo:
>
> A partir de sua fatoração n(n^4 - 1), por exemplo, eu usaria o seguinte
> argumento:
>
> - O último algarismo de n^4 possui periodicidade 1, 2 ou 4, qqs o último
> algarismo final de n (fácil de mostrar para a garotada através de uma
> tabelinha)...
> - Tais potências (expoente 4) sempre terminarão em 1, 5 ou 6; logo, se n
> não terminar em 5, tal último algarismo, menos 1 será 5...
>
> Este tipo de argumento resolve vários problemas olímpicos mais simples de
> forma mais intuitiva.
>
> Abraços
> Nehab
>
> On 18/04/2013 14:00, Mauricio de Araujo wrote:
>
> fatorando: n5-n = n(n4-1) = n(n2+1)(n+1)(n-1)...
>
> temos 3 números consecutivos => multiplo de 2 e 3....
>
> note agora que n(n4-1) é ´multiplo de 5 pois:
>
> ou n é múltiplo de 5 ou
> n4-1.... mas n4-1 é múltiplo de 5 sempre que n não o for... use
> congruencia...
>
> n=1 (mod5) => n4=1(mod5);
> n=2(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
> n=3(mod5) => n2=-1(mod5) => n4=1(mod5);
> n=4(mod5) => n4=1(mod5)...
>
> Logo n5-n é múltiplo de 2, 3 e 5 ou seja, múltiplo de 30
>
> CQD.
>
>
> 2013/4/18 marcone augusto araújo borges <[email protected]>
>
>> Mostrar que m = n^5 - n é divisível por 30
>>
>> Fatorando,dá pra ver que m é múltiplo de 3.
>> Como o algarismo das unidades de n^5 é igual ao algarismo das
>> unidades de n,temos que m termina em zero,ou seja,é múltiplo de 10,e ai
>> acaba.
>> Fui tentar por indução também e ai complicou.
>> Alguém resolveria por indução?
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
>
>
> --
> Abraços
>
> oɾnɐɹɐ ǝp oıɔıɹnɐɯ
> *momentos excepcionais pedem ações excepcionais.*
> *A primeira vez é sempre a última chance.*
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
> acredita-se estar livre de perigo.
>
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> acredita-se estar livre de perigo.
>
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acredita-se estar livre de perigo.
