2014-05-20 8:05 GMT-03:00 Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com>: > 2014-05-19 23:13 GMT-03:00 terence thirteen <peterdirich...@gmail.com>: >> Ah, é claro! Uma desigualdade deve resolver! >> >> n! cresce muito mais rápido que n^2007, então f é estritamente decrescente e >> negativa a partir de certo ponto. Assim ela é certamente injetiva daí, pois >> a>b daria f(a)>f(b). > > f(a) < f(b), mas é isso. > >> O problema agora é antes deste ponto... > > Bom, usando Stirling, n! > n^2007 mais ou menos para n ~ 2007. Mais > exatamente, > > n! > n^n / e^n, e esse último é > n^2007 <=> n^(n - 2007) > e^n <=> (n > - 2007) log(n) > n <=> x * log(x + 2007) > 2007 + x > Como log(2000) > log(729) = log(3^6) > 6 log(3) > 6, basta 6x > 2007 + > x ou seja x > 2007/5 = 401 > > Restam 2500 casos para fazer na mão ;-))
Bom, juntando as idéias de divisibilidade e assintótico, sai. Suponha que 0 <= b < a < 2500, que é o único caso que resta. Se b não divide a, mas f(b) = f(a), temos b^2007 - b! = a^2007 - a! => a! - b! + b^2007 = a^2007. Como b divide a! (pois a > b), isso dá b | a^2007. Assim, os fatores primos de b aparecem nos fatores primos de a. Bom, vamos nos livrar de um caso simples: b = 1. Ou seja, não existe a > 1 tal que a^2007 = a!: Note que (a-1) divide a! (e a-1 diferente de zero pela nossa hipótese da ordem do a e do b). Mas (a-1) é primo com a. Logo ele não divide a^2007. Assim, temos que a = AC e b = BC, onde A e B são primos entre si, C é um fator comum maior do que 1 (por isso que a gente se livrou do caso b = 1 antes). Rearrumando as coisas, temos (AC)! - (BC)! = C^2007 * (A^2007 - B^2007), logo C^2007 divide (AC)! - (BC)!. Como A > B, temos que C divide (AC)!/(BC)! = AC * (AC -1) * ... * (AC - BC + 1), logo C não divide (AC)!/(BC)! - 1. Note que isso vale, na verdade, para qualquer fator primo (digamos p) de C. Assim, p^2007 divide (AC)! - (BC)! = (BC)! [ (AC)! / (BC)! - 1 ], logo p^2007 divide (BC)! = b!. Ou seja, se p é um fator de b, p^2007 divide b! Mas qualquer primo p aparece menos de "b vezes" em b!, para qualquer b: esse número de vezes é igual a [b/p] + [b/p^2] + ... + [b/p^n] + ... onde a soma é finita (alguma hora, p^n > b, e as partes inteiras vão dar zero). Essa soma também é menor do que b/p * (1/(1-1/p)) (soma da PG sem as partes inteiras) = b / (p - 1) <= b (e só poderia ser igual quando p = 2, e nesse caso, o mais próximo que chega é (b-1) porque a série é finita, e precisa de termos fracionários para dar exatamente b/(p-1)). Agora, note que a < 2500, e a = AC, com C > 1, implica que a < 1250. Idem para b < a. Assim, p aparece no máximo 1250 vezes em b!, o que é absurdo pois queríamos que p^2007 | b! Talvez tenha algo sem usar explicitamente o 2007 e as estimativas de Stirling, mas saiu ! Abraços -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
