Cara Amanda,
Como as respostas que chegaram às suas perguntas foram
incompletas, resolvi escrever soluções, ainda que com uma certa demora
(pelo que peço desculpas). Vamos lá:
a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por
a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 .....
Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam.
Em caso de
convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da
integral, ou ambas convergem ou ambas divergem)
R.: Podemos escrever a_n=Soma(k = 1, n) b_k, onde b_1=f(1) e
b_k=f(k)-Int [k-1, k] f(x) dx= Int [k-1, k] (f(k)-f(x)) dx para k>1.
Como f é decrescente, temos b_k<0, pois f(k)-f(x)<0 para k-1<=x<k.
Assim, a sequência a_n é decrescente. Por outro lado, como
f(k)-f(x)>=f(k)-f(k-1) para k-1<=x<=k, temos b_k>=f(k)-f(k-1) para
k>1, donde a_n=Soma(k = 1, n) b_k>=f(1)+Soma(k = 1,
n)(f(k)-f(k-1)=f(n). Como f é limitada, (a_n) é decrescente e
limitada, e logo converge.
b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência
de suas somas
parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para
os seguintes casos:
b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3....
b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o n-ésimo primo.
R.: Vamos provar que, para qualquer sequência (a_n) de reais
positivos, a série de
(a_n)/(s_n) converge se, e somente se, a série de a_n converge. De
fato, se a série de a_n converge, como s_n>=a_1 para todo n, a soma de
a_n/s_n é menor ou igual à soma de a_n/a_1, que é limitada, e portanto
converge. Por outro lado, se a série de a_n diverge, para todo inteiro
positivo m existe n>m tal que s_n>2.s_m, e logo a soma de k=m+1 até n
de a_k/s_k é maior ou igual à soma de k=m+1 até n de a_k/s_n, que é
igual a (s_n-s_m)/s_n=1-s_m/s_n>1/2. Assim, para todo m (por maior que
seja), a soma de alguns termos da série a_k/s_k com k>m é maior que
1/2, o que implica que a série de a_k/s_k diverge. Vamos agora tratar
dos subitens:
b.1) Como a série de 1/n^2 converge, a série de (a_n)/(s_n) também converge.
b.2) Vamos mostrar que a série dos inversos dos primos diverge, e
portanto a série de (a_n)/(s_n) também diverge. Para isso vou mostrar
um argumento bacana do Erdös:
Se a série de 1/p_n convergisse, existiria N natural tal que a série
dos 1/p_n com n>N seria menor que 1/2, Seja A o conjunto dos naturais
que têm algum fator primo p_n com n>N, e B o complementar de A nos
naturais. Dado m um inteiro positivo, o número de inteiros positivos
entre 1 e m que pertencem a A é no máximo a soma de m/p_n para n>N,
que é menor que m/2. Por outro lado, um elemento de B menor ou igual a
m se escreve como p_1^a_1.p_2^a_2.....p_N^a_N (não pode ter nenhum
fator primo maior que p_N), e os expoentes a_j são no máximo log m/log
2. Assim, há no máximo (1+log m/log 2)^N possibilidades para esses
elementos. Como há m inteiros positivos entre 1 e m, devemos ter
m/2+(1+log m/log 2)^N>m, donde (1+log m/log 2)^N>m/2 para todo inteiro
ositivo m, o que é um absurdo, pois o limite de (1+log m/log 2)^N/m
quando m tende a infinito é 0.
Abraços,
Gugu
Quoting Amanda Merryl <[email protected]>:
Boa noite. Estou com alguma dificuldade nisto. Agradeço se puderem
ajudar em um deles.
a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por
a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 .....
Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam.
Em caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás,
pelo teste da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem)
b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência
de suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma
(a_n)/(s_n) para os seguintes casos:
b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3....
b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o ngésimo primo.
Muito obrigada
Amanda.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
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Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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