Muito obrigada! Amanda
> Em 07/11/2014, às 15:30, [email protected] escreveu: > > Cara Amanda, > Como as respostas que chegaram à s suas perguntas foram incompletas, > resolvi escrever soluções, ainda que com uma certa demora (pelo que peço > desculpas). Vamos lá: > a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por > a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 ..... > Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em caso > de > convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da > integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) > > R.: Podemos escrever a_n=Soma(k = 1, n) b_k, onde b_1=f(1) e b_k=f(k)-Int > [k-1, k] f(x) dx= Int [k-1, k] (f(k)-f(x)) dx para k>1. Como f é > decrescente, temos b_k<0, pois f(k)-f(x)<0 para k-1<=x<k. Assim, a sequência > a_n é decrescente. Por outro lado, como f(k)-f(x)>=f(k)-f(k-1) para > k-1<=x<=k, temos b_k>=f(k)-f(k-1) para k>1, donde a_n=Soma(k = 1, n) > b_k>=f(1)+Soma(k = 1, n)(f(k)-f(k-1)=f(n). Como f é limitada, (a_n) é > decrescente e limitada, e logo converge. > > b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas > somas > parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para os > seguintes casos: > > b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3.... > > b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o n-ésimo primo. > > R.: Vamos provar que, para qualquer sequência (a_n) de reais positivos, a > série de > (a_n)/(s_n) converge se, e somente se, a série de a_n converge. De fato, se > a série de a_n converge, como s_n>=a_1 para todo n, a soma de a_n/s_n é > menor ou igual à soma de a_n/a_1, que é limitada, e portanto converge. Por > outro lado, se a série de a_n diverge, para todo inteiro positivo m existe > n>m tal que s_n>2.s_m, e logo a soma de k=m+1 até n de a_k/s_k é maior ou > igual à soma de k=m+1 até n de a_k/s_n, que é igual a > (s_n-s_m)/s_n=1-s_m/s_n>1/2. Assim, para todo m (por maior que seja), a soma > de alguns termos da série a_k/s_k com k>m é maior que 1/2, o que implica > que a série de a_k/s_k diverge. Vamos agora tratar dos subitens: > b.1) Como a série de 1/n^2 converge, a série de (a_n)/(s_n) também > converge. > b.2) Vamos mostrar que a série dos inversos dos primos diverge, e portanto a > série de (a_n)/(s_n) também diverge. Para isso vou mostrar um argumento > bacana do Erdös: > Se a série de 1/p_n convergisse, existiria N natural tal que a série dos > 1/p_n com n>N seria menor que 1/2, Seja A o conjunto dos naturais que têm > algum fator primo p_n com n>N, e B o complementar de A nos naturais. Dado m > um inteiro positivo, o número de inteiros positivos entre 1 e m que > pertencem a A é no máximo a soma de m/p_n para n>N, que é menor que m/2. > Por outro lado, um elemento de B menor ou igual a m se escreve como > p_1^a_1.p_2^a_2.....p_N^a_N (não pode ter nenhum fator primo maior que p_N), > e os expoentes a_j são no máximo log m/log 2. Assim, há no máximo (1+log > m/log 2)^N possibilidades para esses elementos. Como há m inteiros positivos > entre 1 e m, devemos ter m/2+(1+log m/log 2)^N>m, donde (1+log m/log 2)^N>m/2 > para todo inteiro ositivo m, o que é um absurdo, pois o limite de (1+log > m/log 2)^N/m quando m tende a infinito é 0. > Abraços, > Gugu > > Quoting Amanda Merryl <[email protected]>: > >> Boa noite. Estou com alguma dificuldade nisto. Agradeço se puderem ajudar >> em um deles. >> >> a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por >> >> a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 ..... >> >> Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em >> caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste >> da integral, ou ambas convergem ou ambas divergem) >> >> b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de >> suas somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma >> (a_n)/(s_n) para os seguintes casos: >> >> b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3.... >> >> b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o ngésimo primo. >> >> Muito obrigada >> >> Amanda. >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> ========================================================================= >> Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= >> >> > > > > ---------------------------------------------------------------- > This message was sent using IMP, the Internet Messaging Program. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
