Obrigado, Pedro José! O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
Um abraço! Pedro Chaves ________________________________ > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) > From: [email protected] > To: [email protected] > > Bom dia! > > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente > se m.d.c.(a,b) divide c. > > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. > > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. > > 12 = 7 * 1 + 5 > 7 = 5 * 1 + 2 > 5 = 2 * 2 + 1 > > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) > > 5 = 12 - 7 (i) > 2 = 7 - 5 (ii) > 1 = 5 - 2 *2 (iii) > > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) > > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 > > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. > > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 > > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da > equação 7 x - 12 y = 11. > > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) > > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) > > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b. > > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) > ==> y = -33 + 7*t (vi) > > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t > > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + > 7*t, t ƐZ } > > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem > soluções se m.d.c.(a,b) divide c. > > Tem o artigo do eduardo Tengan: > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas > equações. > > Saudações, > PJMS > > > > > > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire > <[email protected]<mailto:[email protected]>> escreveu: > Pedro, > > 7 é o inverso de 7 módulo 12 > > -- > Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>) > > > ---------- Original Message ----------- > From: Pedro Chaves <[email protected]<mailto:[email protected]>> > To: "[email protected]<mailto:[email protected]>" > <[email protected]<mailto:[email protected]>> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) > >> Caros Colegas, >> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por > congruência? Não consegui. >> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. >> >> Abraços. >> Pedro Chaves >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= > ------- End of Original Message ------- > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
