Boa tarde! Corrigindo... y = 2 + 7m e não 2+ 2m.
Desculpem-me, PJMS Em 22 de abril de 2015 14:26, Pedro José <[email protected]> escreveu: > Boa tarde! > > Não parei para pensar se dá sempre. > > 7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = 5 > + 12* m : m Ɛ Z > > -12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 (mod12) > ==> y =2 + 7*n : n ƐZ > > > Substituindo na equação original temos: > > 7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5 > +12 m e y = 2 + 2m : m ƐZ. > > Saudações, > PJMS > > > > > > > Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José <[email protected]> escreveu: > >> Bom dia! >> >> Desculpe-me, não vi a restrição do método. >> >> Sds, >> PJMS >> >> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves <[email protected]> >> escreveu: >> >>> Obrigado, Pedro José! >>> >>> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência. >>> >>> Um abraço! >>> Pedro Chaves >>> >>> ________________________________ >>> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300 >>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo) >>> > From: [email protected] >>> > To: [email protected] >>> > >>> > Bom dia! >>> > >>> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente >>> > se m.d.c.(a,b) divide c. >>> > >>> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução. >>> > >>> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides. >>> > >>> > 12 = 7 * 1 + 5 >>> > 7 = 5 * 1 + 2 >>> > 5 = 2 * 2 + 1 >>> > >>> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e >>> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de >>> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.) >>> > >>> > 5 = 12 - 7 (i) >>> > 2 = 7 - 5 (ii) >>> > 1 = 5 - 2 *2 (iii) >>> > >>> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv) >>> > >>> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5 >>> > >>> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1. >>> > >>> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1 >>> > >>> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da >>> > equação 7 x - 12 y = 11. >>> > >>> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33) >>> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v) >>> > >>> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33) >>> > >>> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b. >>> > >>> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33) >>> > ==> y = -33 + 7*t (vi) >>> > >>> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t >>> > >>> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 + >>> > 7*t, t ƐZ } >>> > >>> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos >>> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta >>> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem >>> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c. >>> > >>> > Tem o artigo do eduardo Tengan: >>> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há >>> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas >>> > equações. >>> > >>> > Saudações, >>> > PJMS >>> > >>> > >>> > >>> > >>> > >>> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire >>> > <[email protected]<mailto:[email protected]>> escreveu: >>> > Pedro, >>> > >>> > 7 é o inverso de 7 módulo 12 >>> > >>> > -- >>> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>) >>> > >>> > >>> > ---------- Original Message ----------- >>> > From: Pedro Chaves <[email protected]<mailto:[email protected]>> >>> > To: "[email protected]<mailto:[email protected]>" >>> > <[email protected]<mailto:[email protected]>> >>> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300 >>> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo) >>> > >>> >> Caros Colegas, >>> >> >>> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por >>> > congruência? Não consegui. >>> >> >>> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente. >>> >> >>> >> Abraços. >>> >> Pedro Chaves >>> >> -- >>> >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> >> acredita-se estar livre de perigo. >>> >> >>> >> >>> ========================================================================= >>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> >> >>> ========================================================================= >>> > ------- End of Original Message ------- >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> > >>> > >>> > -- >>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e >>> > acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> >>> ========================================================================= >>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >>> ========================================================================= >>> >> >> > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
