Boa tarde!
Não parei para pensar se dá sempre.
7 * x ≡ 11 (mod12) ==> 7*7*x ≡ -1*7 (mod12) ==> x ≡ 5 (mod12) ==> x = 5 +
12* m : m Ɛ Z
-12*y ≡11 (mod7) ==> 2*y ≡ 4 (mod7) ==> 4*2*y ≡ 4*4 (mod7) ==> y ≡ 2 (mod12)
==> y =2 + 7*n : n ƐZ
Substituindo na equação original temos:
7 * (5 +12*m) -12* (2 + 7*n) =11 ==> 84*m - 84* n = 0 ==> m=n ==> x = 5 +12
m e y = 2 + 2m : m ƐZ.
Saudações,
PJMS
Em 22 de abril de 2015 13:37, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
> Bom dia!
>
> Desculpe-me, não vi a restrição do método.
>
> Sds,
> PJMS
>
> Em 22 de abril de 2015 12:04, Pedro Chaves <brped...@hotmail.com>
> escreveu:
>
>> Obrigado, Pedro José!
>>
>> O que desejo, entretanto, é resolver a equação por congruência.
>>
>> Um abraço!
>> Pedro Chaves
>>
>> ________________________________
>> > Date: Wed, 22 Apr 2015 11:32:17 -0300
>> > Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> > From: petroc...@gmail.com
>> > To: obm-l@mat.puc-rio.br
>> >
>> > Bom dia!
>> >
>> > Pelo teorema de Bèzout a equação ax + by = c tem solução se e somente
>> > se m.d.c.(a,b) divide c.
>> >
>> > Como 7 e 12 são primos entre si, temos que 1 divide 11 e tem solução.
>> >
>> > Primeiro passo achar o m.d.c. entre 7 e 12 pelo algorítimo de Euclides.
>> >
>> > 12 = 7 * 1 + 5
>> > 7 = 5 * 1 + 2
>> > 5 = 2 * 2 + 1
>> >
>> > Segundo passo: expressar a unidade como uma Z combinação linear de 12 e
>> > 7. (embora para o caso seja fácil achar 1 = 3 * 12 - 7 * 5, faremos de
>> > modo sistemático, pois as vezez não o é fácil.)
>> >
>> > 5 = 12 - 7 (i)
>> > 2 = 7 - 5 (ii)
>> > 1 = 5 - 2 *2 (iii)
>> >
>> > (ii) e (iii) ==> 1 = 5 - ( 7 -5) *2 = 3*5 - 7 * 2 (iv)
>> >
>> > (iv) e (i) ==> 1 = 3 * (12 - 7) - 7*2 = 3 * 12 - 7 * 5
>> >
>> > então podemos afirmar que - 5 *7 -12 * (-3) =1.
>> >
>> > então (-5,-3) é uma solução da equação : 7x -12 y = 1
>> >
>> > Se multiplicarmos por 11, teremos que (-55,-33) é uma solução da
>> > equação 7 x - 12 y = 11.
>> >
>> > Agora use a solução encontrada 7 x - 12 y = 7 * (-55) - 12 * (-33)
>> > <==> 7 * (x+55) = 12 (y+33) (v)
>> >
>> > pelo fechamento da adição em Z temos que 7 divide 12 (y +33)
>> >
>> > Usando o teorema: se d divede ab e m.d.c.(d,a) = 1 ==> d divide b.
>> >
>> > m.d.c (7,12) = 1 ==> 7 divide (y+33) ==> existe t Ɛ Z, 7* t = (y+33)
>> > ==> y = -33 + 7*t (vi)
>> >
>> > (vi) e (v) ==> 7* (x+55) = 12 * 7*T) ==> x = -55 +12*t
>> >
>> > Então a solução completa é { (x,y) Ɛ Z^2 | x= -55+ 12*t , y = -33 +
>> > 7*t, t ƐZ }
>> >
>> > Caso os coeficientes a e b, da equação a x+ by = c, não sejam primos
>> > entre si, para que se possa aplicar o destacado em vermelho, basta
>> > dividir todos os membros por m.d.c(a,b), pois por Bèzout só existem
>> > soluções se m.d.c.(a,b) divide c.
>> >
>> > Tem o artigo do eduardo Tengan:
>> > http://www.icmc.usp.br/~etengan/imersao/imersao.pdf, onde há
>> > demonstrações e muito mais. Foi lá que aprendi a resolver essas
>> > equações.
>> >
>> > Saudações,
>> > PJMS
>> >
>> >
>> >
>> >
>> >
>> > Em 22 de abril de 2015 07:43, Benedito Tadeu V. Freire
>> > <b...@ccet.ufrn.br<mailto:b...@ccet.ufrn.br>> escreveu:
>> > Pedro,
>> >
>> > 7 é o inverso de 7 módulo 12
>> >
>> > --
>> > Open WebMail Project (http://openwebmail.org<http://openwebmail.org/>)
>> >
>> >
>> > ---------- Original Message -----------
>> > From: Pedro Chaves <brped...@hotmail.com<mailto:brped...@hotmail.com>>
>> > To: "obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>"
>> > <obm-l@mat.puc-rio.br<mailto:obm-l@mat.puc-rio.br>>
>> > Sent: Wed, 22 Apr 2015 12:46:28 +0300
>> > Subject: [obm-l] Equação diofantina (de novo)
>> >
>> >> Caros Colegas,
>> >>
>> >> A equação diofantina 7x - 12y = 11 pode ser resolvida por
>> > congruência? Não consegui.
>> >>
>> >> Sei que 7x é congruente a -1 (mod 12), mas não sei como ir em frente.
>> >>
>> >> Abraços.
>> >> Pedro Chaves
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>> >> acredita-se estar livre de perigo.
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>> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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