Vou supor que, de alguma forma, a função exponencial g(x) = a^x tenha sido definida e que suas propriedades sejam conhecidas.
Inicialmente, verificamos que f nunca se anula. De fato, se f(a) = 0 para algum a, então, para todo real x, f(x) = f(a + x - a) = f(a) f(x - a) = 0, contradizendo a hipótese de que f não é identicamente nula. Assim, como f é contínua, f não permuta seu sinal em R. Do contrário, f se anularia, o que, como vimos, não ocorre. Temos que f(0 + 0) = f(0) = (f(0))^2. Como f não se anula, f(0) = 1 > 0. Isto implica que f seja estritamente positiva em R. Para todo real x, f(x + (-x)) = f(x) f(-x) = f(0) = 1. Logo, f(-x) = 1/f(x) Por um raciocínio indutivo simples, concluímos que, para todo inteiro n >= 0 e todo real x, f(nx) = (f(x))^n. Isto implica que, sendo a = f(1), então f(n) = a^n, n >= 0, inteiro. Logo, se n != 0, f(n . 1/n) (f(1/n))^n = f(1) = a, levando a que f(1/n) = a^(1/n). Se x = m/n for racional (m e n != 0) inteiros, então, f(x) = f(m/n) = f(m . 1/n) = (f(1/n))^m = [a^(1/n)]^m = a^(m/n) = a^x. E como f(0) = 1 = a^0 = g(0), temos chave do cofre: f e a exponencial g(x) = a^x concordam no conjunto dos racionais Q. Como f e g são contínuas em R e Q é denso em R, então, para todo real x, f(x) = g(x) = a^n. Esta conclusão de que f = g, se ambas são contínuas concordam em um conjunto D denso em seu domínio comum, é bastante, geral, não se limita a R, vale em vários espaços topológicos. No caso de espaços métricos como o R^n, a prova é muito simples: Dado x genérico em R^n, tomemos uma sequência (d_n) em D que convirja para x. Como D é denso em R^n, esta sequência existe. Então, pelas continuidades de f e de g, f(d_n) --> f(x) e g(d_n) --> g(x). Mas como f e g concordam em D, (f(d_n)) e (g(d_n)) são a mesma sequência . Da unicidade do limite, segue-se então que f(x) = g(x). Abraços Artur Costa Steiner > Em 23/04/2015, às 07:14, Pedro Chaves <[email protected]> escreveu: > > Caros Colegas, Alguém poderia demonstrar o teorema abaixo? "Supondo que f(x) > é uma função não identicamente nula: 1) Com domínio em R ; 2)Contínua em > todos os pontos do domínio; 3) Tal que f(x + y) = f(x).f(y). Então existe a> > 0 tal que f(x) = a^x." Abraços do Pedro Chaves. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
