Corrigindo a 2a linha: se P for constante, pode haver no máximo uma raiz, porque a exponencial é bijetora.
Artur Costa Steiner > Em 03/05/2015, às 07:24, Artur Costa Steiner <[email protected]> > escreveu: > > Uma outra forma de mostrar isto é a seguinte: > > Se o polinômio P for constante, só pode haver uma raiz porque a exponencial é > bijetora. > > Se P tiver grau >= 1, quando x tende a oo, a exponencial se "descola" de P, > mesmo que este também vá para oo. Logo, o conjunto A das raízes de sua > equação é limitado superiormente. Quando x vai para -oo, a exponencial vai > para 0 e P para + ou - oo, de modo que as duas curvas se descolam. Assim, A > também é limitado inferiormente, logo limitado. > > Se A for infinito, então, pelo Teorema de Bolzano Weierstrass, terá um ponto > de acumulação em R, logo no domínio de ambas as funções. Como ambas são > analíticas (dadas em todo o R por séries de potências), então coincidem em > toda a reta real, sendo portanto a mesma função. Mas, pelo que vimos, isto é > impossível. Logo, só pode haver um número finito de raízes, A é finito. > > Se duas funções analíticas em R coincidirem em um conjunto limitado, então > são a mesma função. Assim, um argumento similar ao anterior mostra, por > exemplo, que, se P não for constante, a equação P(x) = sin(x) têm um número > finito de raízes em R. > > Isto vale também nos complexos. Assim, se P for um polinômio de coeficientes > complexos e f(z) = e^(kz), k uma constante complexa não nula, então, em > subconjuntos limitados de C, f e P igualam-se em um número finito de pontos. > > Em subconjuntos infinitos de C, duas funções analíticas pode concordar em um > uma infinidade de pontos sem serem a mesma função. O conjunto dos pontos em > que se igualam é sempre enumerável (considerando-se conjuntos finitos como > enumeráveis). > > É interessante observar que, se P não for identicamente nulo, então, em todo > o C, P e f(z) = e^kz (k não nulo) igualam-se em um conjunto infinito > enumerável. E em toda reta de C, igualam-se em um número finito de pontos. > > Abraços > > Artur Costa Steiner > >> Em 03/05/2015, às 00:50, Carlos Gomes <[email protected]> escreveu: >> >> Olá amigos, >> >> Será que alguém pode me ajudar com essa? >> >> Mostre que para qualquer polinômio com coeficientes reais p(x) a equação >> e^x=p(x) tem sempre uma quantidade finita de raízes (evidentemente pode não >> ter raízes, caso em que a quantidade de raízes é 0 e portanto essa >> quantidade é finita inclusive nesse caso). >> >> Abraço, Cgomes. >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. >> >> ========================================================================= >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html >> ========================================================================= -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
