Obrigado Artur!
Abraço, Cgomes.
On 03/05/2015 07:24, Artur Costa Steiner wrote:
Uma outra forma de mostrar isto é a seguinte:
Se o polinômio P for constante, só pode haver uma raiz porque a exponencial é
bijetora.
Se P tiver grau >= 1, quando x tende a oo, a exponencial se "descola" de P,
mesmo que este também vá para oo. Logo, o conjunto A das raízes de sua equação é limitado
superiormente. Quando x vai para -oo, a exponencial vai para 0 e P para + ou - oo, de modo
que as duas curvas se descolam. Assim, A também é limitado inferiormente, logo limitado.
Se A for infinito, então, pelo Teorema de Bolzano Weierstrass, terá um ponto de
acumulação em R, logo no domínio de ambas as funções. Como ambas são analíticas
(dadas em todo o R por séries de potências), então coincidem em toda a reta
real, sendo portanto a mesma função. Mas, pelo que vimos, isto é impossível.
Logo, só pode haver um número finito de raízes, A é finito.
Se duas funções analíticas em R coincidirem em um conjunto limitado, então são
a mesma função. Assim, um argumento similar ao anterior mostra, por exemplo,
que, se P não for constante, a equação P(x) = sin(x) têm um número finito de
raízes em R.
Isto vale também nos complexos. Assim, se P for um polinômio de coeficientes
complexos e f(z) = e^(kz), k uma constante complexa não nula, então, em
subconjuntos limitados de C, f e P igualam-se em um número finito de pontos.
Em subconjuntos infinitos de C, duas funções analíticas pode concordar em um
uma infinidade de pontos sem serem a mesma função. O conjunto dos pontos em que
se igualam é sempre enumerável (considerando-se conjuntos finitos como
enumeráveis).
É interessante observar que, se P não for identicamente nulo, então, em todo o
C, P e f(z) = e^kz (k não nulo) igualam-se em um conjunto infinito enumerável.
E em toda reta de C, igualam-se em um número finito de pontos.
Abraços
Artur Costa Steiner
Em 03/05/2015, às 00:50, Carlos Gomes <[email protected]> escreveu:
Olá amigos,
Será que alguém pode me ajudar com essa?
Mostre que para qualquer polinômio com coeficientes reais p(x) a equação
e^x=p(x) tem sempre uma quantidade finita de raízes (evidentemente pode não ter
raízes, caso em que a quantidade de raízes é 0 e portanto essa quantidade é
finita inclusive nesse caso).
Abraço, Cgomes.
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