Ola' Pedro, imagine um hexagono , e suas 3 diagonais maiores. Vemos que, usando essa topologia, e' perfeitamente possivel haver 9 segmentos, e nenhum triangulo formado.
Portanto, o maximo que se pode garantir, e' que P1P2 pertence a algum triangulo com UM lado menor que P1P2. Sua demonstracao falha nessa passagem. O problema proposto (que achei bem interessante) continua em aberto. []'s Rogerio Ponce 2015-05-12 9:14 GMT-03:00 Pedro José <petroc...@gmail.com>: > Bom dia! > > Tem que fazer ainda para os casos 2 e 6, 3 e 4 Pois os complementares são > resolvidos praticamente da mesma forma (só trocar maior por menor e máximo > por mínimo e vice-versa). > Porém a afirmação que : "Então se tivermos pelo menos dois segmentos > maiores que P1P2 e dois menores que P1P2 o problema está resolvido." está > totalmente errada pois tem-se que garantir que formarão o triângulo. Dá um > pouco de trabalho, no momento ocupado, mais tarde posto a solução para os > outros casos. > > PJMS > > Em 11 de maio de 2015 18:24, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu: > >> Boa tarde! >> >> Se são seis pontos (P1, P2, P3...P6) nós temos 15 seguimentos. Numero >> combinatório de 6 dois a dois = 6*5/2 = 15. >> >> Sem perda de generalidade o segmento central na sequência ordenada, ou >> seja o oitavo da fila, será denominado P1P2. >> >> Logo nós temos 8 segmentos que podem formar um triângulo com esse lado. P1P3, >> P1P4, P1P5, P1P6, P2P3, P2P4, P2P5 E P2P6 não necessariamente com essa >> ordem de comprimento. >> >> |_1_| |_2_| |_3_| |_4_| |_5_| |_6_| |_7_| |_P1P2_| |_9_| |_10_| |_11_| >> |_12_| |_13_| |_14_| |_15_| >> >> Então as possibilidades serão 7 para segmentos de comprimento maior >> do que o de P1P2 e mais 7 para segmentos com comprimentos menores do que >> P1P2. >> Como temos 8 segmentos.. >> Logo teremos pelo menos um segmento com comprimento menor que P1P2 e pelo >> menos um com comprimento menor que P1P2. >> Então se tivermos pelo menos dois segmentos maiores que P1P2 e dois >> menores que P1P2 o problema está resolvido. >> >> Pois, construo um triângulo com dois segmentos menores e P1P2 ==> P1P2 >> será o maior lado desse triângulo. >> Construo um outro com dois segmentos maiores e P1P2 ==> P1P2 será o menor >> lado. >> >> então P1P2 só não será simultaneamente mínimo e máximo para algum >> triângulo nas seguintes condições. >> >> (i) só há um dos segmentos destacados em amarelo com comprimento menor >> que P1P2. >> (ii) só há um dos segmentos destacados em amarelo com comprimento maior >> que P1P2. >> >> Vamos estudar o primeiro caso, pois; são análogos: >> Sem perda de generalidade. Chamemos o seguimento que tem >> comprimento menor do que P1P2 de P2P6. >> >> Então os segmentos de comprimento inferior a P1P2 são; P3P4, P3P5, P3P6, >> P4P5, P4P6, P5P6 E P2P6. >> >> >> Então tomemos Três vértices que formem um triângulo com lados nos >> destacados em azul por exemplo: P3, P4 e P5. >> >> >> (a) Determine o lado de comprimento máximo, s.p.g., chamemos de P3P4. >> >> Então P3P4 é o maior lado do triângulo de vértices: P3, P4 e P5. >> >> (b) Já para o triângulo de vértices P1, P3 e P4, P3P4 é o menor lado do >> triângulo; pois, Todos segmentos destacados em azul são menores que os >> destacados em amarelo. >> >> >> (ii) Para esse caso é só fazer a separação escolher e seguir o mesmo >> caminho só que ao invés de escolher o lado máximo, escolha o lado mínimo do >> triângulo de vértices P3, P4 e P5 e .... >> >> Esse problema fez parte 18a Olimpiada de Maio no ano de 2012. >> Questionei o pessoal da OBM se há arquivo com solução, mas ainda não me >> responderam. Talvez a solução deles seja mais simples. >> >> O probema pode ser encontrado no mesmo caminho que indicara: >> http://www.obm.org.br/opencms/revista_eureka/ >> Procurar Eureka 37 (o arquivo em word está dano bug quando abro, só deu >> certo o PDF), página 4. >> >> Saudações, >> PJMS >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> >> Em 8 de maio de 2015 20:25, Mariana Groff <bigolingroff.mari...@gmail.com >> > escreveu: >> >>> Boa Noite, >>> Alguém poderia ajudar-me no seguinte problema: >>> Temos seis pontos de maneira que não haja três pontos colineares e que >>> os comprimentos dos segmentos determinados por estes pontos sejam todos >>> distintos. Consideramos todos os triângulos que têm seus vértices nesses >>> pontos. Demonstre que um dos segmentos é, ao mesmo tempo, o menor lado de >>> um desses triângulos e o maior lado de outro. >>> Obrigada, >>> Mariana >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
