Oi, Artur, boa noite.
Eu vi seu contra-exemplo e fiquei procurando o erro nessa minha
demonstração. Ainda não entendi o porquê da desigualdade só valer para um
valor particular de a, e não para todo a != 0.
Se para todos eps > 0 existe M tal que n > M implica em |h(x, n)| < eps,
independente de x, então eu apliquei em x+a e escolhi eps = |a|*eps1. Não
vejo porque isso vale para um valor específico de a.
Vou tentar aplicar o seu contra-exemplo. Seja h(x, n) = sen(nx)/n, então
|h(x, n)| = |sen(nx)/n| <= 1/n. Logo, se n > M = 2/(|a|*eps), 1/n < 1/M =
|a|*eps e |h(x, n)| < |a|*eps/2, independente de x.
Assim, |h(x+a, n) - h(x, n)| <= |h(x+a, n)| + |h(x, n)| < |a|*eps.
Finalmente, para todo a != 0 e eps > 0, existe M = 2/(|a|*eps), tal que n >
M implica em | [sen(n(x+a)) - sen(nx)] / (na) | < eps.
Me parece que o problema está em aplicar lim{a -> 0}, mas ainda não entendi
o motivo. Talvez pq o M depende de a?
Me ajuda? :)
Abraços,
Salhab
2015-09-12 1:29 GMT-03:00 Artur Costa Steiner <steinerar...@gmail.com>:
>
>
> Em sábado, 12 de setembro de 2015, Marcelo Salhab Brogliato <
> msbro...@gmail.com> escreveu:
>
>> Oi, Israel,
>>
>> Acho que a melhor representação seria f(x, n) e g(x, n).
>>
>> Assim, sua pergunta seria:
>> Seja h(x, n) = f(x, n) - g(x, n). Prove que, se lim{n->inf} h(x, n) = 0,
>> então lim{n->inf} dh/dx(x, n) = 0.
>>
>> Pela hipótese, sabemos que para todo eps > 0 existe M tal que para todo n
>> > M, |h(x, n)| < eps.
>>
>> Para eps1*|a| > 0, existe M1 tal que n > M1 implica em |h(x+a, n)| <
>> eps1*|a|.
>> Para eps2*|a| > 0, existe M2 tal que n > M2 implica em |h(x, n)| <
>> eps2*|a|.
>>
>> Portanto, para n > max(M1, M2), temos:
>> |h(x+a, n) - h(x, n)| <= |h(x+a, n)| + |h(x, n)| < |a|*(eps1 + eps2)
>> |h(x+a, n) - h(x, n)| < a*(eps1 + eps2)
>> |h(x+a, n) - h(x, n)| / |a| < eps1 + eps2
>> |[h(x+a, n) - h(x, n)] / a| < eps1 + eps2
>>
>> Sabemos que dh/dx = lim{a->0} [h(x+a, n) - h(x, n)] / a.
>> Fazendo a -> 0, temos |dh/dx(x, a)| < eps1 + eps2, para n > max(M1, M2).
>>
>> Portanto, lim{n->inf} dh/dx(x, n) = 0.
>>
>
> Esta conclusão final na realidade não vigora, pois |[h(x+a, n) - h(x, n)]
> / a| < eps1 + eps2 só vale para um valor particular de a. Não é possível
> afirmar que valha para todo a > 0, logo, ao fazermos a --> 0, nada podemos
> ckncluir.
>
> Artur.
>
>
>
>
>> Abraços,
>> Salhab
>>
>> 2015-09-11 21:54 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
>> israelmchrisost...@gmail.com>:
>>
>>> Seja f(x) uma função na variável x, mas que contenha n na sua "fórmula"
>>> ou na sua expressão.Vou usar a notação aqui de lim para limite de n
>>> tendendo ao infinito,
>>> se lim f(x) =g(x) então vale que lim f '(x)=lim g'(x)?Como posso provar
>>> isso?Eu usei isto em uma demonstração, mas não sei se está correto...Alguém
>>> poderia me ajudar?
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