Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas tipo desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das apostas). Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor. Abraço Douglas Oliveira
Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com > escreveu: > Oi, Douglas, tudo bem? > > Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está > provada sua desigualdade. > > Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + > 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) > também será (exercício: prove essa afirmação). > > g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 > + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x) > > Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x. > > Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em > 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1. > > Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + > 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 > para todo x (já que 1+1/x > 1). > > Abraços, > Salhab > > 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima < > profdouglaso.del...@gmail.com>: > >> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade >> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural. >> >> Agradeço desde já. >> >> >
