L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1)) Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) = (n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1. Esse último termo é maior que 1. Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima < profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu: > Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução > daquelas tipo > desigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, > tipo uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o > problema das apostas). > Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por favor. > Abraço > Douglas Oliveira > > Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato < > msbro...@gmail.com> escreveu: > >> Oi, Douglas, tudo bem? >> >> Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está >> provada sua desigualdade. >> >> Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + >> 1/x). Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) >> também será (exercício: prove essa afirmação). >> >> g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - (1/x) / >> (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x) >> >> Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x. >> >> Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em >> 1/x, temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1. >> >> Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + >> 1/x) = (1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 >> para todo x (já que 1+1/x > 1). >> >> Abraços, >> Salhab >> >> 2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima < >> profdouglaso.del...@gmail.com>: >> >>> Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade >>> (1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural. >>> >>> Agradeço desde já. >>> >>> >> > -- Esdras Muniz Mota Mestrando em Matemática Universidade Federal do Ceará
