Sauda,c~oes, oi Douglas,
Vou dar uma dica: faça a_(n+1) = ? e a_1=……=a_n = ?? Dai use G <= A ( no caso
G < A ) .
Abs, L.
Date: Thu, 28 Jan 2016 16:15:11 -0200
Subject: RE: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
From: profdouglaso.del...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Erro? Bom no meu celular acho que saiu as fórmulas todas fora de ordem rs
Em 28/01/2016 16:02, "Bruno Lira" <brunotorne...@hotmail.com> escreveu:
Primeiramente, tome
a função logaritmântica f(x) = ln(x) cujo domínio é o conjuntos dos
números reais maiores que ou igual a zero. Note que a função f é
injetora. Portanto, para provarmos que:
n n+1
( 1 + 1
) < ( 1 + 1
)
( n ) (
n+1 )
basta provar que:
( n) ( n+1)
ln( ( 1 + 1
) ) < ln( ( 1 + 1 ) )
( ( n ) ) ( ( n+1) ) .
De fato, temos que:
( n) ( n+1)
ln( ( 1 + 1
) ) – ln( ( 1 + 1 ) ) =
( ( n ) ) (( n + 1) )
( n) ( n+1)
ln( ( n
+ 1 ) ) – ln( (
n + 2
) ) =
( ( n )
) ( ( n + 1 ) )
( 2n )
ln( ( n
+ 1 ) . n+1
)
; Das
propriedades de logaritmo.
( (n (n+2)) n+2 )
Daí:
( n )
ln( ( n^2
+ 2n + 1 ) .
n+1 )
( ( n^2 + 2n ) n+2)
Como n^2 + 2n < n^2 + 2n + 1 e n+1 < n + 2 temos
que:
n
( n^2 +
2n + 1 ) .
n+1 < 1
( n^2 + 2n ) n+2
E da injetividade da função f temos:
( n ) ln( ( n^2 + 2n + 1 ) . n+1 ) <
ln(1) = 0 ( ( n^2 + 2n ) n+2)
Isto é:
( n) ( n+1)ln( ( 1 + 1 ) ) – ln( ( 1 + 1 )
) < 0 ( ( n ) ) ( ( n+1 ) )
Logo,
n n+1( 1 + 1 ) < ( 1 + 1 )( n ) ( n+1 )
C.Q.D
P.S.: Se tiver algum erro me avisem por favor.
From: esdrasmunizm...@gmail.com
Date: Thu, 28 Jan 2016 12:18:03 -0300
Subject: Re: [obm-l] Ajuda numa desigualdade.
To: obm-l@mat.puc-rio.br
L = ((1+1/(n+1))^(n+1))/(1+1/n)^n = ((1 - 1/(n+1)²)^n)((n+2)/(n+1))
Use que (1 - x)^n > 1 - nx, Para x \in (0, 1)
L > (1 - n/(n+1)²)((n+2)/(n+1)) = ((n²+n+1)/(n²+2n+1))((n+2)/(n+1)) =
(n³+3n²+3n+2)/(n³+3n²+3n+1) > 1.
Esse último termo é maior que 1.
Em 28 de janeiro de 2016 09:41, Douglas Oliveira de Lima
<profdouglaso.del...@gmail.com> escreveu:
Opa Marcelo, muito obrigado mesmo, eu estou procurando uma solução daquelas
tipodesigualdades, onde efetuamos uma estratégia para chegar no resultado, tipo
uma daquelas que tu encontra no livro de combinatória do MOrgado(o problema das
apostas).Mas valeu, se conseguir uma dessas me manda novamente por
favor.AbraçoDouglas Oliveira
Em 28 de janeiro de 2016 01:26, Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com>
escreveu:
Oi, Douglas, tudo bem?
Se provarmos que f(x) = (1 + 1/x)^x é estritamente crescente, então está
provada sua desigualdade.
Uma maneira é fazer isso usando cálculo. Seja g(x) = ln(f(x)) = x ln(1 + 1/x).
Assim, se provarmos que g(x) é estritamente crescente, então f(x) também será
(exercício: prove essa afirmação).
g'(x) = ln(1 + 1/x) + x * (-1/x^2) / (1 + 1/x) = ln(1 + 1/x) - (1/x) / (1 +
1/x) = ln(1 + 1/x) - 1/(1+x)
Temos que mostrar que g'(x) > 0 para todo x.
Sabemos que ln(x) < x - 1, para x != 1. Aplicando essa desigualdade em 1/x,
temos: ln(1/x) < 1/x - 1 => ln(x) > 1 - 1/x, para x != 1.
Aplicando a desigualdade acima em 1+1/x, temos: ln(1+1/x) > 1 - 1/(1 + 1/x) =
(1/x) / (1 + 1/x) = 1/(1+x). Logo: ln(1+1/x) > 1/(1+x) => g'(x) > 0 para todo x
(já que 1+1/x > 1).
Abraços,Salhab
2016-01-28 0:34 GMT-02:00 Douglas Oliveira de Lima
<profdouglaso.del...@gmail.com>:
Olá caros amigos, gostaria de uma ajuda na seguinte desigualdade
(1+1/n)^n<(1+1/n+1)^(n+1), para n natural.
Agradeço desde já.
--
Esdras Muniz Mota
Mestrando em Matemática
Universidade Federal do Ceará
